限制性三体问题及应用.ppt

限制性三体问题 三体问题： 惯性参考系中如果有N个质点，求解这N个质点的运动方程就是N体问题。质点间所有的作用力都来自于体系内的这N个质点之间。在天体力学里面，通常只考虑万有引力。N=2，就是二体问题。N=3，也就是我们要讨论的三体问题。 三体问题的简化 为了解三体问题，那就考虑再简化些吧。认为其中一个质点的质量非常小，它对其它两个质点的万有引力可以忽略。这样一来，三体问题就简化成了“限制性三体问题”。事实上，这样的简化等于是先解一个二体问题，然后加入一个质量很小的质点，再求解这个质点在二体体系中的运动方程。?  然而，即使这样也还是太复杂了。需要再作简化，就是所谓“平面限制性三体问题”，就是要求三个质点都在同一个平面上。然而，即使是对这样极度简化的模型，也还是没有解析通解，也就是得到一个普遍适用的公式是不可能的。 我们下面讨论的就是平面限制性三体问题，简称限制性三体问题。 将 以相对坐标系的相对倒数表述，得到动力学方程的标量形式： 令 为质点m在坐标系内的 相对速度，能量积分为： V*为质点由m1和m2的引力场及 动坐标系的离心力场组成的相对势能: 能量积分结果显示质点m相对于动坐标系运动的机械能守恒。由能量积分结果，质点速度可表述为： 总能量E确定以后，点m必须在确定的范围内运动 才能保证质点的速度平方为正值，此运动范围的 边界与零速度相对应。如令v=0，则可以得到以 E为参数的边界曲线族，称为Hill曲线。 拉格朗日平衡点的证实 拉格朗日平衡点的意义 * 三体问题是经典力学里面的天体力学的老难题，从牛顿时代起就是物理学家和数学家的恶梦！? N=2的情况，牛顿时候已经基本解决。两个质点在一个平面上绕着共同 质心作圆锥曲线运动，轨道可以是圆、椭圆、抛物线或者双曲线。 然而三体运动的情况分析起来却糟糕得多，虽然已经将天体简化成了质点。就是对于极其简化了的三体问题，牛顿、拉格朗日、拉普拉斯、泊松、雅可比、庞加莱等等大师们献上了无数脑汁也未能将它攻克。当然，努力也没有完全白费的，摄动方法就是收获之一，是非常有效的解决问题的近似方法。  设有三个质点m, m1, m2满足m??m1, m??m2。m1和m2组成二体体系（m1, m2） 各自绕系统的质心O做开普勒运动。设r1, r2为点O至m1, m2的矢径，满足 mr1+mr2=0。m1作用于m2的万有引力 ,r=r2-r1，为m1至m2的矢径。 很容易得到： u, u1*,u2*定义为： 方程表明m2相对m1的运动是以m1为焦点的 开普勒运动，而m1和m2相对质心O的运动 也分别是以O为焦点的开普勒运动。 以O为原点建立动坐标系，令x轴沿m1至m2的连线，z轴沿轨道平面法线，m1，m2在x轴上的坐标分别为a1和-a2（如图）。此坐标系随同m1,m2的圆轨道运动而绕z轴旋转。角速度: 依据此前的假设，只讨论质点m在(m1,m2)的轨道平面xoy内运动的简单情形。分别以ρ,ρ1, ρ2表示自点O, m1, m2指向点m的矢径。由叠加原理，m在m1,m2的势场下，势函数表述为： 式中, m受到的万有引力可表述为： 其动力学方程为： 随着E的增大，质点的运动范围从m1, m2周围的局部区域 逐渐扩大到互相连通， 当E0时，m的运动范围不受限制。 相对平衡位置及稳定性 在（m1, m2）的万有引力场和离心力场共同作用下，质点m在动坐标面上可能存在的平衡位置，记作（xs, ys）。在平衡位置处，质点的运动范围缩为一个点，即Hill曲线的奇点，令动力学方程中质点的速度和加速度均为0. 得到(xs, ys）应满足的方程： ρ1s,ρ2s为平稳位置与m1,m2的距离。显然方程存在两组解，一组在轴x的 (-∞,-a2), (-a2, a1),(a1, + ∞)三个区间内, 记为L1, L2, L3, 另一组 分别记为L4, L5, 分别与m1和m2构成等边三角形。总共5个平衡位置如图所示。 L1, L2, L3是由数学家欧拉推算出来的， L4, L5是由拉格朗日推算出来得。但后来习惯上将这五个点都称为拉格朗日点。?从Hill曲线上可以看出， L1, L2, L3是不稳定平衡点，而L4, L5是稳定的平衡点。 拉格朗日点的求解多少显得有点象数学游戏。但是，后来的发现却证实了拉格朗日点的存在，并且发现这些点都具有非常重要的意义。 1906年，德国天文学家马克思·沃尔夫发现了一颗奇异的小行星