第4章5-7 数字滤波器的原理和设计方法.ppt

第四章 数字滤波器的原理和设计方法 6、凯泽(Kaiser)窗 这是一种适应性较强的窗，其窗函数的表示式为 其中，I0(x)是第一类修正零阶贝塞尔函数。它可用以下的级数来计算： 在实际应用中，级数取15～25项就可以达到足够的精度。 凯泽窗是一族窗函数。β是可调参数，调节β值可以改变主瓣的宽度和旁瓣的幅度，β的典型值在4β9范围内。凯泽窗的曲线示于图4.55中。 当n=(N-1)/2(即中点)时，ω(n)=1，当n从中点向两边变化时，ω(n)逐渐减小，β越大，ω(n)变化愈快。当n=0和n=N-1时，ω(0)= ω(N-1)=1/I0(β)。在上图中，β=5.44的曲线接近于哈明窗，β=8.5的曲线与Blackman窗相近，而β=0的曲线就是矩形窗。参数β选得越大，则ω(n)窗越窄，而频谱的旁瓣越小，但主瓣宽度也相应增加。因而改变β值就可对主瓣宽度与旁瓣衰减进行选择。 可以看出，阻带最小衰减只由窗形状决定，不受N的影响，而过渡带的宽度则随窗宽N的增加而减小。 窗函数设计FIR数字滤波器的步骤： (1)给出希望设计的滤波器的频率响应函数Hd(ejω)； (2)根据允许的过渡带宽度及阻带衰减，初步选定窗函数和N值； (3)计算以下积分，求出hd(n)； 或 (4)将hd(n)与窗函数相乘得FIR数字滤波器的冲激响应h(n)； (5)计算FIR数字滤波器的频率响应，并验证是否达到所要求的指标 或 从而得到H(ω)和φ(ω)。 窗函数法计算中的主要问题 其一，需要预先确定窗函数的形式和窗序列的点数N，以满足给定的频率响应指标，从而很难准确控制滤波器通带的边缘； 其二，若Hd(ejω)不能用简单函数表示，则计算式(4.97)的积分非常困难。 第一个问题只有通过多次设计来解决。如图4.56所示，理想低通滤波器的截止频率为ωc，由于窗函数主瓣的作用而产生过渡带，出现了通带截止频率ω1和阻带截止频率ω2。在ω1和ω2处的衰减是否满足通带和阻带的要求，也就是ω1和ω2是否就是所需要的通带和阻带的截止频率，这是不一定的。为了得到满意的结果，不得不假设不同的ωc，进行多次设计。例如，假设要求设计的FIR数字滤波器在ω=0.25π处有-3dB的衰减，设计时先选择理想低通滤波器的ωc =0.25π，得到的FIR数字滤波器在ω=0.25π处衰减为-6dB左右，不符合要求；然后改选ωc=0.30π进行设计，得到的FIR数字滤波器在ω=0.2π处的衰减恰好为-3dB左右。 第二个问题的解决办法是用求和来代替积分，以便在计算机上计算，也就是要计算离散傅里叶反变换，一般都采用FFT来计算。 由式(4.97)知 将积分限分成M段，也就是令抽样频率为 则有 频域的抽样，造成时域序列的周期延拓，延拓周期是M，即 实际上，由于hd(n)随n增加衰减很快，一般只要M足够大，即MN， 在窗口范围内能很好地逼近hd(n)。 窗函数法的优点是简单，有闭合形式的公式可循，因而很实用。其缺点是通带、阻带的截止频率不易控制。 例4.7 设计一个满足下式要求的FIR线性相位低通数字滤波器 0.98≤|H(ejω)|≤1.02，0≤|ω|≤0.18π | H(ejω)|≤0.003，0.22π≤|ω|≤π (1)选择合适的窗函数。 (2)求滤波器的阶数。 (3)求理想低通滤波器的截止频率ωc和滤波器的时延α。 (4)求滤波器的单位取样响应。 解： 阻带衰减为 20log(0.003)=-50.5dB 查P146，表4.2，选择哈明窗可满足阻带衰减的要求。 (2)题目要求的过渡带宽度为 Δω=0.22π-0.18π=0.04π或Δf=Δω/2π=0.02 由表4.2知道，哈明窗的过渡带宽度Δω与滤波器的阶数N有下列 关系：Δω=8π/N，从而N=8π/Δω=8π/0.04π=200 (3) ωc=(ωP+ωT)/2=(0.18π+0.22π)/2=0.20π 滤波器的时延α=(N-1)/2=199/2=99.5，取α=100。 (4)滤波器的单位取样响应 因滤波器的频率特性为H(ejω)=|H(ejω)|e-jωα 所以滤波器的单位取样响应为 4.6.2 频率取样法 窗函数法是从时域出发，把理想的hd(n)用一定形状的窗函数截取成有限长的h(n)，以此h(n)来近似理想的hd(n)，这样得到的频率响应H(ejω)逼近于我们所要求的理想的频率响应Hd(ejω)。 频率抽样法则是从频域出发，把给定的理想频率响应Hd(ejω)加以等间隔抽样，所以称之为频率取样法。 然后以此Hd(k)作为实际FIR数字滤波器的频率特