第10讲随机过程维纳辛钦、希氏变换、高斯白噪声.ppt

随机过程 各态历经性 所谓各态历经就是从随机信号的一次观测记录（一个样本函数）就可以估计其统计量，也称遍历性 令x(t)为X(t)的一个样本函数，其时间平均值 样本函数的时间平均自相关函数为 对于平稳随机信号X(t)，若其所有样本函数在某一固定时刻的一阶和二阶统计特性与单一样本函数在长时间内的统计特性一致，则称X(t)为各态历经信号 基本含义：单一样本函数随时间变化的过程可以包括该信号所有样本函数的取值经历 信号间的三种关系： 1. 独立。若： 2. 不相关。若： 3. 正交。若： 功率谱密度函数 对于任意信号x(t)，定义信号的能量和功率： 帕萨伐尔定理： 上述过程即为帕萨伐尔定理或瑞利能量定理 ，即：在频域和时域上对同一信号所求的能量相等 则： 两边取期望： 则定义： 为随机过程X(t)的平均功率谱密度函数 将式 代入上式整理： 由平稳随机过程可知 令 当 时， 趋近于1，可由上式可得到： 由傅立叶变换公式可知 随机过程X(t)的自相关函数和功率谱密度函数是一对傅立叶变换对，描述了随机过程X(t)的时域与频域统计规律之间的关系，此为维纳辛钦定理 功率谱密度函数的物理意义： 1. 从统计的角度，随机信号的功率在各个频率点上分布情况； 2. 在每个时刻都表现为互不相同的时间函数，因此不能简单的用傅立叶变换分析随机信号 性质： 1. 是非负的； 2. 是实的； 3. 是偶函数 例如：已知 ，其中 为常数， 为均匀分布的随机变量，概率密度如下，求 根据维纳辛钦定理，对相关函数做傅里叶变换 再例如：设平稳过程X(t)的相关函数为 ，求其功率谱密度 希尔伯特变换 定义： 令f(t)为实函数，则称 为f(t)的希尔伯特变换，记为： 称 为g(t)的希尔伯特反变换，记为： 对于希尔伯特变换又可记为卷积形式： 从希尔伯特变换的定义，可以将希尔伯特变换的结果 看成是输入为f(t)的线性时不变系统的输出 频域变换 上图中LTI系统的冲激响应的傅里叶变换即为系统的传递函数 其中 为符号函数，即： 则系统函数为： 希尔伯特变换的物理意义是将信号f(t)的所有频率成分都相移π/2，而幅度保持不变。具有这种特性的电路称为希尔伯特滤波器 希尔伯特变换的性质 若f(t)为偶函数，则 为奇函数；反之亦然 ，即f(t)与 相互正交 解析信号 定义：令有实信号f(t)，则称复信号： 为f(t)的解析信号（或预包络） 解析信号的性质： 令 ， 则有 解析信号的能量等于实信号能量的两倍 令 和 为解析信号，则有： 例如：已知 求 和它的解析信号 对于积分困难的变换，可以通过计算频域函数的方法来迂回求解 平稳随机过程通过线性系统 随机过程Y(t)的均值（统计平均） 可以看出随机过程Y(t)的均值与t无关 随机过程Y(t)的自相关函数 可以看出Y(t)的自相关函数与t无关 X(t)和Y(t)的互相关函数与互功率谱密度 由维纳辛钦定理可知： Y(t)的功率谱密度 令 对于希尔伯特变换 与X(t)的互相关函数 高斯白噪声 令n(t)为高斯随机过程，若其功率谱密度 则称n(t)为高斯白噪声 其数学期望为0 其自相关函数为： 性质： 1. 若 ，其中 为确定信号，则X为高斯随机变量，数字期望为0，方差等于： 2. 若 ， ；其中 ， 为确定信号，则： 若 与 在（0~T）时间间隔内正交，即: 则： 与 统计独立 十一、窄带平稳随机过程 定义：令X(t)为平稳随机过程，其功率谱密度形状如图所示 若 ，则称X(t)为窄带平稳随机过程 窄带随机过程的表达式 窄