导数的基本概念.ppt

2.切线问题 切线：割线的极限 M T N 2.切线问题 切线：割线的极限 M T N 2.切线问题 切线：割线的极限 结束 M T N 割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 第一节 导数的基本概念 一 问题的提出二 导数的定义三 求导数举例四 导数的几何意义五 可导与连续的关系六 小结 1.变速直线运动的速度问题 , , 一、问题的提出 时刻的瞬时速度 求 函数为 设动点于时刻的位置 如图, , 的时刻 取一邻近于 运动时间 取极限得 瞬时速度 当 时， 2.切线问题 割线的极限位置—切线位置 播放 M N T 如图, 极限位置即 如果割线 绕点 旋转而趋向极限位置 ,直线 就称为曲线 在点 处的切线. ( 1.函数在一点处的导数 二、导数的定义 y 记为 处的导数, 在点 数 并称这个极限为函 处可导, 在点 则称函数 时的极限存在, 之比当 与 如果 得增量 取 相应地函数 时, 仍在该邻域内) 点 处取得增量 在 当自变量 有定义, 的某个邻域内 在点 定义1.设函数 导数的定义也可为下列形式： 即 2. 函数在区间内的导数 . , 内的每点 在区间 如果函数 的导函数 原来函数 导数值.这个函数叫做 的一个确定的 都对应着 对于任一 内可导. 在开区间 处都可导，就称函数 3 单侧导数 左导数: 右导数: 4.分段函数的导数 (1)求增量 (2)算比值 (3)求极限 ( 解 即 常数的导数是零. 三、 由定义求导数举例 例1 为常数)的导数. 求函数 例如, 解 更一般地 即 例2 求函数 (n为正整数)的导数. 例3　 求函数 解 故 同样地， 例4 求函数 的导数. (换地公式) 解 特别地， 求函数 例5 的导数. 解 (无穷小等价代换) 即 例6 求函数 的导数. 解 当 当 当 不存在. 即 切线方程为 法线方程为 为斜率) 在 表示曲线 处切线 如果函数 处可导， 在点 的斜率，即 则 四、导数的几何意义 轴的直线， 特别， 当 时， 切线是平行于 法线是平行于 轴的直线， 当 时， 切线是平行于 轴的直线， 法线是平行于 轴的直线， 解 根据导数的几何意义, 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为 即 即 例7 求曲线 在(2,4)处的切线的斜率，并 写出在该点处的切线方程和法线方程. 定理： 可导函数是连续函数. 证 五、函数可导与连续的关系 注意: 反之不成立.即连续不一定可导。 比如 函数 处连续但不可导. 在 同理可证: 及 在 处连续但不可导. 解 由可导与连续的关系,可知: 所以 即 例8 设 试确定 使得 在 在处可导. 1. 导数的实质: 增量比的极限; 3. 导数的几何意义:切线的斜率; 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导; 5. 求导数最基本的方法:由定义求导数. 2. 6. 判断可导性 不连续,一定不可导. 连续 直接用定义; 左右导数是否存在且相等. 六 小结与思考判断题 2.切线问题 切线：割线的极限 M T N 2.切线问题 切线：割线的极限 M T N 2.切线问题 切线：割线的极限 M T N 2.切线问题 切线：割线的极限 M T N 2.切线问题 切线：割线的极限 M T N 2.切线问题 切线：割线的极限 M T N 2.切线问题 切线：割线的极限 M T N