数学建模例题及解析.doc

。 例1差分方程——资金的时间价值 问题1:抵押贷款买房——从一则广告谈起 每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。先看一下下面的广告(这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告)，任何人看了这则广告都会产生许多疑问，且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等，人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢?银行贷款的利息是多少呢?为什么每个月要付1200元呢?是怎样算出来的?因为人们都知道，若知道了房价(一次付款买房的价格)，如果自己只能支付一部分款，那就要把其余的款项通过借贷方式来解决，只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了，从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。现在我们来进行数学建模。由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。 a.明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的： 需要借多少钱，用记； 月利率(贷款通常按复利计)用R记； 每月还多少钱用x记； 借期记为N个月。 b．建立变量之间的明确的数学关系。若用记第k个月时尚欠的 款数，则一个月后(加上利息后)欠款 ， 不过 我们又还了x元所以总的欠款为 k=0，1，2，3， 而一开始的借款为。所以我们的数学模型可表述如下 (1) c. (1)的求解。由 (2) 这就是之间的显式关系。 d．针对广告中的情形我们来看(1)和(2)中哪些量是已知的。N=5年＝60个月，已知；每月还款x＝1200元，已知A。即一次性付款购买价减去70000元后剩下的要另外去借的款，并没有告诉你，此外银行贷款利率R也没告诉你，这造成了我们决策的困难。然而，由(2)可知60个月后还清，即，从 而得 (3) (3)表示N＝60，x＝1200给定时和x之间的关系式，如果 我们已经知道银行的贷款利息R，就可以算出。例如，若R ＝0．01，则由(3)可算得 53946元。如果该房地产公司说一 次性付款的房价大于70000十53946＝123946元的话，你就应自 己去银行借款。事实上，利用图形计算器或Mathematica这样的 数学软件可把(3)的图形画出来，从而可以进行估算决策。以下我们进一步考虑下面两个问题。 注1问题1标题中“抵押贷款”的意思无非是银行伯你借了钱不还，因而要你用某种不动产(包括房子的产权)作抵押，即万一你还不出钱了，就没收你的不动产。 例题1某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款60000元，月利率0．01，贷款期25年＝300月，这对夫妇希望知道每月要还多少钱，25年就可还清。假设这对夫妇每月可有节余900元，是否可以去买房呢? 解：现在的问题就是要求使 的x，由(2)式知 现＝60000，R＝0．01，k＝300，算得x=632元，这说明这对夫妇有能力买房。 例题2 恰在此时这对夫妇看到某借贷公司的一则广告：“若借款60000元，22年还清，只要；(i)每半个月还316元；(ii)由于文书工作多了的关系要你预付三个月的款，即316×6＝1896元。这对夫妇想：提前三年还清当然是好事，每半个月还316元，那一个月不正好是还632元，只不过多跑一趟去交款罢了；要预付18％元，当然使人不高兴，但提前三年还清省下来的钱可是22752元哟，是1896元的十几倍哪!这家公司是慈善机构呢还是仍然要赚我们的钱呢?这对夫妇请教你给他们一个满意的回答。 具体解法略。 问题2：养老基金 今后，当年青人参加工作后就要从其每月工资中扣除一部分作为个人 的养老基金，所在单位（若经济效益好的话）每月再投入一定数量的钱，再存入某种利息较高而又安全的“银行”(也可称为货币市场)到60岁退休时可以动用。也就是说，若退休金不足以维持一定的生活水平时，就可以动用自己的养老基金，每月取出一定的款项来补贴不足部分。假设月利率及＝0．01不变，还允许在建立养老基金时自己可以一次性地存入一笔钱(不论多少)，每月存入y元(个人和单位投入的总和)；通常从三十一岁 开始到六十岁就可以动用。这当然是一种简化的假设，但作为估算仍可作为一种考虑的出发点。本问题实际上有两个阶段，即退休前和退休后，其数学模型为 其中x为每月要从养老基金中提出的款项。 习题1 某大学年青教师小李从31岁开始建立自己的养老基 金，他把已有的积蓄1万元也一次性地存入，已知月利率为0．01 (以复利计)，每月存入300元，试问当小李60岁退休时，他的退 休基金有多少?又若，他退休后每月要从银行提取l000元，试问多少年后他的退休基金将用完?你能否根据你了解的实际情况建立一个较好的养老基金的数学模型及相应的算法和程取软件)。 习题2 渔业(林业)管