2013年全国高中数学联赛一试试题.doc

- --- 2013 年全国高中数学联赛一试试题 一．填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分。 设集合 A 2,0,1,3 ，集合 B x x A,2 x2 A ，则集合 B 中所有元素的和为 1. 2. xOy 中，点 A B 在抛物线 y 2 4x 上，满足 OA OB 4 ， F 是抛物 在平面直角坐标系 、 线的焦点，则 S OFA S OFB = 3.在 ABC 中，已知 sin A 10 sin B sin C, cos A 10 cos B cosC ，则 tan A 的值为 4.已知正三棱锥 P ABC 的底面边长为 1，高为 2 ，则其内切球半径为 设 、 为实数，函数 f ( x) ax b 满足：对任意 x [ 0,1] ，有 f (x) 1 ，则 ab 的最大 5. a b 值为 6.从 1,2, ,20 中任取 5 个不同的数，其中至少有 2 个是相邻数的概率为 7.若实数 x， y 满足 x 4 y 2 x y ，则 x 的取值范围是 8.已知数列 an 共有 9 项，其中 a1 a9 1，且对每个 i 1,2, ,8 均有 ai 1 2,1, 1 ， ai 2 则这样的数列的个数为 二．解答题：本大题共 3 小题，共 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.（本题满分 16 分）给定正数数列 xn 满足 Sn 2Sn 1 , n 2,3, , 这里 Sn x1 xn . 证明：存在常数 C 0 ,使得 xn C 2n , n 1,2, 10.（本题满分 20 分）在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆的方程为 x2 y2 1(a b 0) ， a2 b2 A1 , A2 分别为椭圆的左、 右顶点， F1 ,F2 分别为椭圆的左右焦点， P 为椭圆上不同于 A1 和 A2 的任意一点 .若平面中有两个点 Q, R 满足 QA1 PA1, QA2 PA2 , RF1 PF1 , RF2 PF 2 , 试确定线段 QR 的长度与 b 的大小关系，并给出证明。 11（.本题满分 20 分）设函数 f ( x) ax2 b ，求所有的正实数对 (a, b) ，使得对任意实数 x, y 均有 f ( xy) f (x y) f ( x) f ( y) 2013 年全国高中数学联合竞赛加试试题 一．（本题满分 40 分）如图， AB 是圆 的一条弦， P 为弧 AB 内一点， E、F 为线段 AB 上 两点，满足 AE =EF =FB .连接 PE、 PF 并延长，与圆 分别项交于点 C、 D.求证： EF CD AC BD (解题时请将图画在答卷纸上 ) 二．（本题满分 40 分）给定正整数 u、v.数列 an 的定义如下： a1 u v ，对整数 m 1， a2m am u, a2m 1 am v. 记 Sm a1 a2 am (m 1,2, ) .证明：数列 Sn 中有无穷多项是完全平方数。 三．（本题满分 50 分）一次考试共有 m 道试题， n 个学生参加，其中 m,n 2 为给定的整 数.每道题的得分规则是：若该题恰有 x 个学生没有答对，则每个答对盖提的学生得 x 分， 未答对的学生得 0 分 .每个学生的总分为其 m 道题的得分总和 .将所有的学生总分从高到低排 列为 p1 p2 pn ，求 p1 p2 的最大可能值。 四．（本题满分 50 分）设 n, k 为大于 1 的整数， n 2k .证明：存在 2k 个不被 n 整除的整 数，若将他们任意分成两组，则总有一组有若干个数的和被 n 整除。 2013 年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准 说明： 1.评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设 8 分和 0 分；其他各题的评阅，请严格按照本标准评分档次给给分，不要增加其他中间档次。 2.如果考生的解答和本解答的不同，只要给合理的思路、步骤正确，在评卷时可参考本评分 标准适当划分档次评分，解答题中第 9 题 4 分为一个档次 .第 10、 11 小题 5 分为一个档次，不要增加其他中间档次 . 一．填空题：本大题共 8 小题，没小题 8 分，共 64 分 . 1.答案： -5 【解答】易知 B 2,0, 1, 3 .当 x 2, 3 时， 2 x 2 2, 7 ，有 2 x2 A ； 而当 x 0, 1时， 2 x2 2,1，有 2 x2 A.因此，根据 B 的定义可知 B 2, 3 . 所以，集合 B 中所有元素的和为 -5. 2.答案： 2 【解答】点 F 的坐标为（