2018全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷及答案.doc

- --- 2018 全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 时间： 120 分钟 满分： 150 分 姓名： 一、填空题（本题共 10 小题，每小题 107 分，满分 70 分. 要求直接将答案写在横线上 . ） 1、函数 y cosx cos2x( x R) 的值域为 ____. 2、已知 ( a bi) 2 3 4i ，其中 a, b R ， i 是虚数单位，则 a2 b2的值为 ____. 3、圆心在抛物线 x2 2y 上，并且和该抛物线的准线及 y 轴都相切的圆的方程为 _____. 4、设函数 f (x) 1 4x x ，则不等式 f (1 x2 ) f (5x 7) 0 的解集为 _____. 2x 5、已知等差数列 { an } 的前 12 项的和为 60，则 a1 a2 a 12 的最小值为 _____. 6、已知正四面体内切球的半径是 1，则该四面体的体积为 _____. 7、在 ABC 中， AB 5， AC 4 ，且 AB AC 12 , 设 P 是平面 ABC 上的一点，则 PA (PB PC) 的最小值为 _____. n (k, n) ，其中 n N * ， (k, n) 表示 k 与 n 的最大公约数，则 g(100) 的值为 8、设 g (n) k 1 =_____. 9、将 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ，这 9 个数随即填入 3 3 的方格中，每个小方格恰填写一个数， 且所填的数各不相同，则使每行、每列所填的数之和都是奇数的概率为 ____. 10、在 1,2,3, 4, ,1000 中，能写成 a2 b2 1(a， b N) 的形式，且不能被 3 整除的数有 ______个 . 二、解答题（本大题共 4 小题，每小题 20 分，共 80 分） 11、如图，在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆 O 的方程为 x2 y2 4 ，过点 P(0,1) 的直线 l 与圆 O 交于 A, B 两点，与 x 轴交于点 Q ，设 QA PA, QB PB ，求证： 为定 值. y A P Q o x B 12、已知 { an } 是公差为 d (d 0) 的等差数列，且 a1 t 2 a2 t 3 a3 t ， （1）求实数 t， d 的值； （2）若正整数满足 m＜ p＜ r，am 2t m a p 2t p ar 2t r 0 ，求数组 (m, p,r ) 和相应的通项公式 an . 13、如图，在圆内接四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 P ， ABD 与 ABC 的内 心 分 别 为 I 1 和 I 2 ， 直 线 I 1I 2 分 别 与 AC， BD 交 于 点 M , N ， 求证 ： PM PN . 14、从 1,2,3, , 2050 这 2050 个数中任取 2018 个数组成集合 A ，把 A 中的每个数染上红 色或蓝色， 求证：总存在一种染色方法， 是使得有 600 个红数及 600 个蓝数满足下列两个条 件： ①这 600 个红数的和等于这 600 个蓝数的和； ②这 600 个红数的平方和等于这 600 个蓝数的平方和 . 参考答案： （1） [0, 9] ；（ 2） 5；（ 3） ( x 1)2 ( y 1 ) 2 1；（ 4） (2,3) ；（ 5） 60； 8 2 （6） 8 3 ；（ 7） 65 ；（ 8） 520；（ 9） 1 ；（ 10） 501； 8 14 （11） 8 ；（ 12）① t 1 ， d 3 ；② (m, p, r ) (1,3,4) ， an 1 (3n 11) ； 3 2 8 8