2011年全国高中数学联赛试题及答案.doc

- --- 2011 年全国高中数学联赛 一 试 一、填空题（每小题 8 分，共 64 分） 1．设集合 A { a1 , a 2 , a3 , a4 } ，若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为 B { 1,3,5,8} ，则集合 A ． 2．函数 f (x) x 2 1 ． x 1 的值域为 3．设 a, b 为正实数， 1 1 2 2 ， (a b) 2 4(ab) 3 ，则 log a b ． a b 4．如果 cos5 sin 5 7(sin 3 cos3 ) ， [ 0,2 ) ，那么 的取值范围是 ． 5．现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每 个 项 目 都 有 人 参 加 ， 每 人 只 参 加 一 个 项 目 ， 则 满 足 上 述 要 求 的 不 同 安 排 方 案 数 为 ．（用数字作答） 6．在四面体 ABCD 中，已知 ADB BDCCDA 60 ， AD BD 3 ， CD 2 ，则 四面体 ABCD 的外接球的半径为 ． 7．直线 x 2 y 1 0 与抛物线 y 2 4x 交于 A,B 两点，C 为抛物线上的一点，ACB 90 ， 则点 C 的坐标为 ． 1 n 8．已知 an C 200n 200 n ,95) ，则数列 { an } 中整数项的个数为 3 6 ( n 1,2, ． 2 二、解答题（本大题共 3 小题，共 56 分） 9 ．（ 16 分 ） 设 函 数 f ( x) | lg( x 1) | ， 实 数 a, b(a b) 满 足 b 1 f (a) f ( ) ， b 2 f (10a 6b 21) 4 lg 2 ，求 a, b 的值． 10．（ 20 分）已知数列 { a n } 满足： a1 2t 3 (t R 且 t 1) ， an 1 (2t n 1 3)a n 2(t 1)t n 1 ( n N * ) ． an 2t n 1 1）求数列 { an } 的通项公式； 2）若 t 0 ，试比较 an 1 与 an 的大小． 11．（本小题满分 20 分）作斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C ： x2 y2 1 交于 A, B 两点（如 3 36 4 图所示），且 P(3 2 , 2 ) 在直线 l 的左上方． y （ 1）证明：△ PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上； P x （ 2）若 APB 60 ，求△ PAB 的面积． O B A 解 答 1． { 3,0,2,6} . 提示：显然，在 A 的所有三元子集中，每个元素均出现了 3 次，所以 3(a1 a 2 a3 a4 ) ( 1) 3 5 8 15 ， 故 a1 a2 a3 a4 5 ，于是集合 A 的四个元素分别为 5－（－ 1）＝ 6， 5－3＝ 2， 5－5＝ 0， 5－ 8＝－ 3，因此，集合 A { 3, 0, 2, 6} ． 2． ( , 2 ] (1, ) . 提示：设 x tan , 2 2 ，且 4 ，则 2 1 f ( x) cos 1 1 ． tan 1 sin cos 2 sin( ) 4 设 u 2 sin( ) ，则 2 u 1 ，且 u 0 ，所以 f (x) 1 ( , 2 (1, ) ． u ] 4 2 3． -1. 提示：由 1 1 2 2 ，得 a b 2 2ab ．又 a b ( a b) 2 4ab ( a b) 2 4ab 4(ab)3 4 2 ab (ab) 3 8(ab) 2 ， 即 a b 2 2ab ． ① 于是 a b 2 2ab ． ② 再由不等式①中等号成立的条件，得 ab 1 ．与②联立解得 a 2 1, 或 a 2 1, b 2 1,b 2 1, 故 log a b 1 ． 4． , 5 . 提示：不等式 4 4 cos5 sin 5 7(sin 3 cos3 ) 等价于 sin 3 1 sin 5 cos3 1 cos5 . 7 7 又 f (x) x3 1 x5 是 ( , ) 上的增函数，所以 sin cos ，故 7 2k 2k 5 (k Z)． 4 4 因为 [0,2 ) ，所以 的取值范围是 4 , 5 ． 4 5． 15000. 提示：由题设条件可知，满足条件的方案有两种情形： （ 1）有一个项目有 3 人参加，共有 C 73 5! C51 5! 3600 种方案； （ 2）有两个项目各有 2 人参加，共有 1 (C72 C52 ) 5! C52 5! 11400 种方案； 2 所以满足题设要求的方案数为 3