高中数学立体几何习题精选精讲.doc

- --- 例谈立体几何中的转化 立体几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富，其中最重要的就是转化的思想方法，它 贯穿立体几何教学的始终， 在立体几何教学中占有很重要的地位。 立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化，具体从以下几个方面入手。 1、 位置关系的转化 线线、线面、面面平行与垂直的位置关系是立体几何中的一个重点内容，其精髓就是 平行与垂直位置关系的相互依存及转化， 平行与垂直问题不但能横向转化， 而且可以纵向转化。 1 已知三棱锥 S－ABC中，∠ ABC＝ 90°，侧棱 SA⊥底面 ABC，点 A 在棱 SB 和 SC上的射影分别是点 E、 F。求证 EF⊥ SC。 分析：∵ A、 E、F 三点不共线， AF⊥ SC， S F ∴要证 EF⊥ SC，只要证 SC⊥平面 AEF， 只要证 SC⊥ AE（如图 1）。 E 又∵ BC⊥ AB， BC⊥ SA，∴ BC⊥平面 SAB， ∴ SB是 SC在平面 SAB上的射影。 A C ∴只要证 AE⊥ SB（已知），∴ EF⊥ SC。 例 2 设矩形 ABCD， E、 F 分别为 AB、 CD的中点，以 EF为棱将矩形 B 折成二面角 A－EF－ C ( 如图－ 2) 。求证：平面 ABE∥平面 C DF。 1 1 1 分析一（纵向转化）： B 图－ 1 A 1 E ∵ AE∥DF， AE 平面 CDF， AE∥平面 C1DF.同理， B1E∥平面 C1DF， 又 AE∩ B1E＝ E，∴平面 AB1E∥平面 C1DF。 D1 分析二（横向转化）： ∵ AE∥EF， B E⊥EF，且 AE∩ B E＝ E，∴ EF⊥平面 C DF。 D 1 1 1 C F 同理， EF⊥平面 C1DF 。平面 AB1E∥平面 C1DF。 2、降维转化 C1 图－ 2 由三维空间向二维平面转化，是研究立体几何问题的重要 数学方法之一。 降维转化的目的是把空间的基本元素转化到某一 个平面中去， 用学生们比较熟悉的平面几何知识来解决问题。 如线面垂直的判定定理的证明 就是转化为三角形全等的平面问题。 3 如图 -3 ，在直三棱柱ABC— A1B1C1 中， AB=BC= 2 ， BB1=2 ， ABC 90 ，E、F 分别为 AA1、C1B1 的中点，沿棱柱的表面从 E 到 F 3 两点的最短路径的长度为 . 2 2 分析：这类问题通常都是将几何体的侧面展开成平面图形来解决。 又如异面直线所成的角、线面角、面面角的计算，最终都是转化为平面上两 图 -3 相交直线成的角来进行的。 第 1 页 共 8 页 例 4 如图 -4 直四棱柱 ABCD A1 B1C1 D1 中， AA1 2 ，底面 ABCD是直角梯形，∠ A 是直角， AB||CD， AB=4， AD=2， DC=1，求异面直线 BC1 与 DC 所成角的大小 . （结果用反三 角函数值表示） 解：由题意 AB//CD， C1 BA 是异面直线 BC 与 DC所成的角 . 1 连结 AC1 与 AC，在 Rt △ ADC中，可得 AC 5 ， 又在 Rt△ ACC1中，可得 AC1=3. 在梯形 ABCD中，过 C 作 CH//AD 交 AB 于 H， 得 CHB 90 ,CH 2, HB 3, CB 13 图 -4 又在 Rt CBC1 中，可得 BC1 17 ， 在 中 AB2 BC12 AC12 3 17 , 3 17 . ABC1 , cos ABC1 2 AB BC1 17 ABC1 arccos 17 ∴异而直线 BC1 与 DC所成角的大小为。 实现空间问题向平面问题转化的方法很多，常用的就有：平移法、射影法、展开法和辅助面法等等。 3、割补转化 “割形”与“补形”是解决立体几何问题的常用方法之一，通过“割”或“补”可化复 杂图形为已熟知的简单几何体，从而较快地找到解决问题的突破口。 例 5 如图 5，三棱锥 P－ ABC中，已知 PA⊥ BC， PA＝ BC＝ n, PA 与 BC的公垂线 ED＝ h， P P－ ABC的体积 V＝ 1 n 2h. E 求证：三棱锥 6 A C 此题证法很多，下面用割补法证明如下： B D C1 分析一：如图 5，连结 AD、 PD，∵ BC⊥ DE， BC⊥ AB， 图— 5 P B1 ∴ BC⊥平面 APD，又 DE⊥AP， 1 1 n2 h E C ∴ V ＝ V ＋ V BC· S ＝ 。 A B ＝ 6 P－ABCB－ APD C－APD3 ⊿ APD 分析二：如图 6，以三棱锥 P－ABC的底面为底面，侧棱 PA为 图－ 6 侧棱，补成三棱拄 PB1C1－ AB