高中数学椭圆经典例题详解2.doc

- --- 椭圆标准方程典型例题 2 3 y 2 m m 例 1 已知椭圆 0 2 ）求 的值 ． 6 0 的一个焦点为（ ， 分析： 把椭圆的方程化为标准方程，由 c 2 ，根据关系 a 2 b2 c2 可求出 m 的值． 解： 方程变形为 x 2 y2 1 ．因为焦点在 y 轴上，所以 2m 6 ，解得 m 3 ． 6 2m 又 c 2，所以 2m 6 22 ， m 5 适合．故 m 5 ． 例 2 已知椭圆的中心在原点，且经过点 P 3，0 ， a 3b ，求椭圆的标准方程． 分析： 因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法， 求出参数 a 和 b （或 a2 和 b2 ）的值，即可求得椭圆的标准方程． 解： 当焦点在 x 轴上时，设其方程为 x2 y2 1 a b 0 ． a2 b2 由椭圆过点 P 3，0 ，知 9 0 1 ．又 a 3b ，代入得 b2 1 ， a 2 9 ，故椭圆的方程为 x2 y2 1 ． a2 b2 9 当焦点在 y 轴上时，设其方程为 y 2 x2 1 a b 0 ． 2 2 a b 由椭圆过点 P 3，0 ，知 9 0 1 ．又 a 3b ，联立解得 a2 81 ，b2 9 ，故椭圆的方程为 y2 x2 1 ． a 2 b2 81 9 例 3 ABC 的底边 BC 16 ， AC 和 AB 两边上中线长之和为 30，求此三角形重心 G 的轨迹和顶点 A 的轨迹． 分析：（ 1）由已知可得 GC GB 20，再利用椭圆定义求解． （ 2）由 G 的轨迹方程 G 、 A 坐标的关系，利用代入法求 A 的轨迹方程． 解：（ 1）以 BC 所在的直线为 x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系． 设 G 点坐标为 x， y ，由 GC GB 20， 知 G 点的轨迹是以 B 、 C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因a 10 ， c 8，有 b 6， 故其方程为 x2 y 2 0 ． 100 1 y 36 （ 2）设 A x， y ， G x ， y ，则 x 2 y 2 1 y 0 ． ① 100 36 x x ， x 2 y 2 由题意有 1 y 0 ，其轨迹是椭圆（除去 x 轴上两点） ． 3 代入①，得 A 的轨迹方程为 y y 900 324 3 例 4 已知 P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 P 到两焦点的距离分别为 4 5 和 2 5 ，过 P 点作焦点所在轴 3 3 的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为 F1 、 F2 ，且 PF1 4 5 2 5 ．从椭圆定义知 2a PF1 PF2 2 5 ．即 a5 ． ， PF2 3 3 从 PF1 PF2 知 PF2 垂直焦点所在的对称轴，所以在 Rt PF2F1 中， sin PF1F2 PF2 1 PF1 ， 2 可求出 PF1 F2 ， 2c PF1 cos 2 5 ，从而 b2 a 2 c2 10 ． 6 6 3 3 ∴所求椭圆方程为 x2 3y2 1或 3x2 y 2 1． 5 10 10 5 例 5 已知椭圆方程 x2 y 2 1 a b 0 ，长轴端点为 A1 ， A2 ，焦点为 F1 ， F2 ， P 是 a2 b2 椭圆上一点， A1PA2 ， F1PF2 ．求： F1 PF2 的面积（用 a 、 b 、 表示）． 分析： 求面积要结合余弦定理及定义求角 的两邻边，从而利用 S 1 ab sin C 求面积． 2 解： 如图，设 P x，y ，由椭圆的对称性，不妨设 P 在第一象限． 由余弦定理知： F1F2 2 PF1 2 2 2 PF1 ·PF2 cos 4c2 PF2 ．① 由椭圆定义知： PF1 PF2 2a ②，则 ② 2－① 得 PF1 PF2 1 2b2 ． cos 故 S F1 PF2 1 PF1 PF2 sin 1 2b2 sin b2 tan ． 2 2 1 cos 2 例 6 已知动圆 P 过定点 A 3，0 ，且在定圆 B x 3 2 y 2 64的内部与其相内切， 求动圆圆心 P 的轨迹方程． ： 分析： 关键是根据题意，列出点 P 满足的关系式． 解： 如图所示，设动圆 P 和定圆 B 内切于点 M ．动点 P 到两定点， 即定点 A 3，0 和定圆圆心 B 3，0 距离之和恰好等于定圆半径， 即 PA PB PM PB BM 8 ．∴点 P 的轨迹是以 A ， B 为两焦点， 半长轴为 4，半短轴长为 b 42 32 7 的椭圆的方程： x2 y2 1 ． 16 7 说明： 本题是先根