高中数学典型例题解析导数及其应用(20190419220408).doc

- --- 三、经典例题导讲 [ 例 1] 已知 y (1 cos2x) 2 , 则 y . 错因： 复合函数求导数计算不熟练 , 其 2x 与 x 系数不一样也是一个复合的过程 , 有的同学忽视了 , 导致错解 为 : y 2sin 2 x(1 cos 2x) . 正解： 设 y u 2 , u 1 cos2x , 则 yx yu u x 2u(1 cos2 x) 2u ( sin 2x) (2 x) 2u ( sin 2x) 2 4 sin 2x(1 cos2x) y 4sin 2x(1 cos 2x) . 1 ( x2 1)( x 1) [ 例 2] 已知函数 f ( x) 2 判断 f(x) 在 x=1 处是否可导？ 1 ( x 1)( x 1) 2 1 [(1 x) 2 1] 1 (12 1) 错解： lim 2 x 2 1, f (1) 1 。 x 0 分析： 分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导 . y 1 [(1 x)2 1] 1 (12 1) 解： lim lim 2 x 2 1 x 0 x x 0 f(x) 在 x=1 处不可导 . 注： x 0 ，指 x 逐渐减小趋近于 0 ； x 0 ，指 0 x 逐渐增大趋近于 。 点评： 函数在某一点的导数，是一个极限值， 即 lim f ( x0 x) f ( x0 ) ，△ x→ 0，包括△ x→ 0＋ ，与△ x→ 0－ ，因此， x 0 x 在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能 判定这点存在导数，否则不存在导数 . [ 例 3] 求 y 2x 2 3在点 P(1,5) 和 Q (2,9) 处的切线方程。 错因： 直接将 P ， Q 看作曲线上的点用导数求解。 分析： 点 P 在函数的曲线上，因此过点 P 的切线的斜率就是 y 在 x 处的函数值； 1 点 Q 不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线． 解： 2 2 3, 4 . 4 yx y x y x 1 即过点 P 的切线的斜率为 4，故切线为： y 4x 1． 设过点 Q 的切线的切点为 T (x0 , y0 ) ，则切线的斜率为 4x0 ，又 kPQ y0 9 ， x0 2 2 故 2x0 6 4x0 ， 2x0 2 8 x0 6 0. x0 1,3 。 x0 2 即切线 QT 的斜率为 4 或 12，从而过点 Q 的切线为： y 4x 1, y 12x 15 点评 ： 要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标． [ 例 4] 求证：函数 y x 1 1，并求出其斜率为 0 的切线方程 . 图象上的各点处切线的斜率小于 x 分析： 由导数的几何意义知，要证函数 y x 1 1，只要证它的导函数的函数值 的图象上各点处切线的斜率都小于 x 都小于 1，因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解. 解：（ 1） y x 1 , y 1 1 1，即对函数 y x 1 定义域内的任一 x ，其导数值都小于 1，于是由导数的几 x x2 x 何意义可知，函数 y x 1 1. 图象上各点处切线的斜率都小于 x （ 2）令 1 1 0 ，得 x 1，当 x 1时， y 1 1 2 ；当 x 1时， y 2 ， x 2 1 曲线 y x 1 的斜率为 0 的切线有两条，其切点分别为 (1,2) 与 ( 1, 2) ，切线方程分别为 y 2 或 y 2 。 x 点评： 在已知曲线 y f (x)切线斜率为 k 的情况下， 要求其切线方程， 需要求出切点， 而切点的横坐标就是 y f ( x) 的导数值为 k 时的解， 即方程 f (x) k 的解，将方程 f (x) k 的解代入 y f (x) 就可得切点的纵坐标， 求出了切点 坐标即可写出切线方程，要注意的是方程 f (x) k 有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条. [ 例 5] 已知 a 0 ，函数 f ( x) x3 a ， x 0, ，设 x1 0 ，记曲线 y f ( x) 在点 M ( x1, f (x1 )) 处的切线为 l . （ 1）求 l 的方程； （ 2）设 l 与 x 轴交点为 ( x2 ,0) ，求证： 1 1 1 ① x2 a3 ； ②若 x1 a 3 ，则 a 3 x2 x1 分析： 本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程 . 解： （ 1） f / ( x) lim y (x x) 3 a x3 a x lim x x 0 x 0 lim 3x 2