多自由度体系的自由振动.ppt

All Rights Reserved 重庆大学土木工程学院? 如果结构和质量布置都是对称的，体系的振型必定是对称或反对称的 ,可以利用对称性，取半边结构计算体系的第一频率,第二频率 。这样，就将两个自由度体系的计算问题，简化为按两个单自由度体系分别进行计算。 反对称半边结构 对称半边结构 第一主振型（反对称 ) 第二主振型（对称） 【例12-25】试计算图示刚架的自振频率和主振型。 解：取集中质量m处竖向位移y和刚性杆CD绕C点的转角q 作为独立的几何位移 。由于本题是由线位移和角位移耦合组成的振动，因此，不能简单地利用前面按柔度法推出的公式计算自振频率和主振型，而应从考虑结构整体平衡，建立运动方程入手。 某一瞬时t，刚架上作用的惯性力如图所示。 由分布质量所产生的惯性力对C点的合力矩为 (1)计算柔度系数dij 图 图 惯性力 建立运动方程: 惯性力 将 及各柔度系数dij代入式(a)，经整理后，得 (a) 与运动方程对比可知： m1=m， (3)求自振频率wi (4)求主振型ri (5)作振型曲线 第一主振型 第二主振型 12.6.2 （推广）n个自由度体系的自由振动 1. 刚度法 (1)运动方程的建立 平衡方程为 其中 式中，kij是结构的刚度系数，即使j方向产生单位位移（其他各点的位移保持为零）时所在点i所需施加之力。 即得自由振动微分方程组 其矩阵形式为 或简写为 (2)运动方程的求解 设特解 (3)求自振频率 将 和 代入式 ，得 这是关于位移幅值的齐次线性代数方程，称为振型方程或特征方程。 频率方程为 其展开形式为 （4）求主振型 令 表示与频率wi相应的第i个主振型向量，即 将wi和 代入振型方程，得 令i=1,2,…,n，可得出n个振型方程，由此可求出n个主振型： 可求出 由振型方程可以惟一地确定主振型的形状，即 中各幅值的相对值，但不能惟一地确定它的幅值(因方程右端项干扰力为零)。 * * 12.6　多自由度体系的自由振动 ●工程实例 1)多层房屋的侧向振动，2)不等高排架的振动，3)块式基础的水平回转振动，4)高耸结构(如烟囱)在地震作用下的振动，5) 桥梁的振动，6) 拱坝和水闸的振动等，一般均化为多自由度体系计算。 ●目的 1) 计算自振频率，即 ， ， …， 。 2) 确定振型（振动形式），即 ， ， … ，或振型常数r1，r2（仅适用于两个自由度体系）。并讨论振型的特性——主振型的正交性。 ●方法 1) 刚度法——根据力的平衡条件建立运动微分方程。 2) 柔度法——根据位移协调条件建立运动微分方程。 对于多自由度体系自由振动分析一般不考虑阻尼。 一、 两个自由度体系的自由振动 1. 刚度法 (1)运动方程的建立 若不考虑阻尼，取质量m1和m2作隔离体，质点上作用惯性力和弹性恢复力，根据达朗伯原理，可列出平衡方程 结构所受的力 、 与结构的位移 、 之间应满足刚度方程 是结构的刚度系数 可得运动方程 也可用矩阵表示为 或缩写为 式中， 为质量矩阵； 为加速度列阵； 为刚度矩阵； 为位移列阵。 (2)运动方程的求解 设 1) 在振动过程中，两个质点同频率（w）、同相位（a）。 上式所表明的运动具有以下特点： 2) 在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化，但二者的比值始终保持不变，即 常数 这种结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型或振型。这样的振动称为按振型自振（单频振动，具有不变的振动形式），而实际的多自由度体系的自由振动是多频振动，振动形状随时间而变化，但可化为各个振型振动的叠加。 (3)求自振频率wi 将 代入运动方程 得 或 为了要求得Y1、Y2不全为零的解答，应使其系数行列式为零，即 由此式可确定体系的自振频率wi，因此称频率方程或特征方程。 将D展开，整理后，得 由此可以解出w2的两个根，即 由上式可见，w只与体系本身的刚度系数及其质量分布情形有关，而与外部荷载无关。 约定w1w2， 其中w1称第一圆频率（最小圆频率，基本圆频率） w2称第二圆频率。 (4)求主振型 第一,求第一主振型： 令w =w1，则 代入振型方程 由于系数行列式D＝0，此二方程是线性相关的（实际上只有一个独立的方程），不能求出Y11和Y21的具体数值，而只能求得二者的比值