矩阵多项式与可逆矩阵的确定.ppt

这个内容。这固然是学时限制所致，但缺乏有启发性的相关题目 证明 和 不同时可逆。 例3.7 问题1.1.11中矩阵 的化零多项式 知对任意实数 ，总有 ，因此从定理3.1知 是可逆的，从 和 （3.1）知 问题1.1.17也可用类似的方法解决，从A 的化零多项式 知 由定理 知对任意正整数 来说 可逆，且从 和 (3.1) 知 例3.8 问题1.2.2的化零多项式 用 去除 得综合除法 因此 ，由定理3.3知 ， 是可逆的，且 例3.9设 阶矩阵 满足 （k为正整数），则 的化零多项式为 ， 由定理3.1和 知 可逆，且从（3.1）和 知 的化零多项式。 ，所以 为 从 和定理3.1知 是可逆的， 由（3.1）得 这样 例3.11 问题1.1.7： 为 实矩阵，且 证明： 是正交矩阵。 证明： 为实对称矩阵 的化零多项式， 从 和定理3.1知 可逆，且 对n阶矩阵A，若有常数a,b存在，使得 称A为由a,b所确定的二次矩阵（见[17,18]） 当 或 时， 即为通常的幂等矩阵或对合矩阵。 或 由幂等矩阵、对称矩阵的特殊结构，特别是应用的广泛， 现行的线性代数，很多将这两类矩阵作为教学内容，并 且有 定理3.5 （见[1,P110],[2,p109]等） 当 时 （3.5） 当 （3.6） 时 福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设第十三次研讨会 矩阵多项式与可逆矩阵的确定 莆田学院数学系 杨忠鹏，陈梅香，林志兴，晏瑜敏， 陈智雄， 张金辉,王海明,戴培培,曾闽丽　 2011.4.23 宁德 矩阵多项式与可逆阵的确定 问题解决的一种可行的解决方法 问题的已有解法 问题的提出 1.问题的提出 是关于 的 次多项式， 为 阶方阵，称 为A的m 次多项式。 设 （见[1,P45],[2,P7]等）。 由于学时的限制，与数学专业的教学相关，矩阵多项式的 定义在矩阵运算之后就作为正式的教学内容，这是有意义的， 是值得借鉴的处理方式。关于矩阵多项式本身的训练和例题习题 在“线性代数”教材并不多见。因此多数情况下，这样很有价值 的教学内容在某种意义上讲只是走了过场，或者有些教师就不讲 也是一个重要的原因。 问题1.1.1(见[1,P5])设 阶方阵 证明 及 都可逆，求其逆。 满足 问题1.1.2 (见[7,例2.22])设 阶方阵 满足 证明 和 都可逆，求其逆。 问题1.1.3 （见[9,P52]） 设A满足 问题1.1.4（见[9,P52]） 设A 满足 问题1.1.5（见[11,P98]） 设A 为n阶矩阵，满足 问题1.1.6（见[12,P42 ]） 问题1.1.7（见[13 ，P57]）设 为n阶矩阵 问题1.1.8（见[2，例1.31]）已知n阶矩阵A 满足 证明 和 不同时可逆，并求出它们的逆矩阵。 问题1.1.10(见[6,P88])设 阶方阵 满足 问题1.1.9(见[6,P88])设 阶方阵 满足 （C） A 必不可逆 （D） A+E必不可逆 问题1.1.11（见[9,P51]）设A为n阶方阵，且 , 则 问题1.1.12曾作为2001年全国硕士生入学考试数学一的试题. 问题1.1.12 设A 满足 问题1.1.13 设阶矩阵A满足矩阵方程 问题1.1.13曾作为1988年全国硕士生入学统一考试数学四的试题. 问题1.1.15（见[3，例7，P42]）若方阵A满足方程 问题1.1.14（见 [8,P81]） 设 证明 A+3E为正交矩阵。 证明A-KE（其中k为任意实数）可逆，并求它的表达式。 问题1.1.16（见[9,P52]） 设n阶矩阵A 满足 问题1.1.17（见[2，P56]）设 证明 问题1.2.1（见[7 ，例2.23]）设n阶矩阵A≠0 满足A3=0，证明E-A，A+E都可逆，并求逆。 问题1.2.2（见[2， 习题一（B），34]