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解:首先,分别求解两个单目标问题的最优解,由它们得到的目标函数值组成理想解. 由此,构造支付表 X f1* f2* (7,13) (0,0) 46 0 -23.5 0 由此计算两个目标与理想值偏离的权重 解下列线性规划问题: 由此求得, 分析者把计算结果交给决策者,决策者将目标值与理想值(21.192,-7.064)与理想值(46,0)比较,如果认为f2是满意的,但利润太低,并认为污染可接受到10个单位.于是,约束集修改成 进行下一轮迭代.首先设π2=0,并计算得π1=1.将模型修改为 由此求得: 决策者把这一结果与前一轮的解及理想值作比较,认为两个目标值都比较满意,则迭代结束. 线性规划问题都是处理单个目标的情况,但是在现实世界中有许多问题具有多个目标,这些目标的重要性各不相同,往往有不同的量纲,有的目标相互依赖,例如决策者既希望实现利润最大,又希望实现产值最大;有的相互抵触,如决策者既希望充分利用资源,又不希望超越资源限量。而决策者希望在某些限制条件下,依次实现这些目标。这就是目标规划所要解决的问题。当所有的目标函数和约束条件都是线性时,我们称其为线性目标规划问题。在这里我们主要讨论线性目标规划问题。 一、目标规划模型的建立 目标规划模型 引例1: 对于生产计划问题: 甲 乙 资源限额 材料 2 3 24 工时 3 2 26 单位利润 4 3 现在工厂领导要考虑市场等一系列其他因素,提出如下目标: (1)根据市场信息,甲产品的销量有下降的趋势,而乙产品的销量有上升的趋势,故考虑乙产品的产量应大于甲产品的产量。 (2)尽可能充分利用工时,不希望加班。 (3)应尽可能达到并超过计划利润30元。 现在的问题是:在原材料不能超计划使用的前提下,如何安排生产才能使上述目标依次实现? 解:(1)决策变量:仍设每天生产甲、乙两种产品各为x1和x2 偏差变量:对于每一目标,我们引进正、负偏差变量。 如对于目标1,设d1-表示乙产品的产量低于甲产品产量的数,d1+表示乙产品的产量高于甲产品产量的数。称它们分别为产量比较的负偏差变量和正偏差变量。则对于目标1,可将它表示为等式约束的形式 -x1+x2+ d1-- d1+ =0 (目标约束) 同样设d2-和d2+分别表示安排生产时,低于可利用工时和高于可利用工时,即加班工时的偏差变量,则对目标2,有 3x1+2x2+ d2--d2+ =26 对于目标3,设d3-和d3+分别表示安排生产时,低于计划利润30元和高于计划利润30元的偏差变量,有: 4x1+3x2+ d3--d3+ =30 (2)约束条件:有资源约束和目标约束 资源约束:2x1+3x2≤24 目标约束:为上述各目标中得出的约束 (3)目标函数:三个目标依次为: minZ1=d1- ,minZ2=d2++d2- ,minZ3=d3- 因而该问题的数学模型可表述如下: minZ1=d1- ,minZ2=d2++d2-,minZ3=d3- 2x1+3x2≤24 s.t. -x1+x2+ d1-- d1+ =0 3x1+2x2+ d2--d2+ =26 4x1+3x2+ d3--d3+ =30 案例2(提级加新问题) 某公司的员工工资有四级,根据公司的业务发展情况,准备招收部分新员工,并将部分员工的工资提升一级。该公司的员工工资及提级前后的编制表如下,其中提级后编制是计划编制,允许有变化,其中1级员工中有8%要退休。公司领导的目标如下: (1)提级后在职员工的工资总额不超过550千元; (2)各级员工不要超过定编人数; (3)为调动积极性,各级员工的升级面不少于现有人数的18%; (4)总提级面不大于20%,但尽可能多提; (5)4级不足编制人数可录用新工人。 问:应如何拟定一具满意的方案,才能接近上述目标? 级别
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