空间角的计算.docVIP

第五节 空间角的计算 空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。 空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。 空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。 例1 已知四边形为直角梯形，，，平面，且，，求异面直线PC与BD所成角的余弦值。 图形的画法位置转换一下呢？ 小结：求异面直线所成角的方法： 变式 如图，点P是边长为1的正方形ABED所在平面外的一点，且PA⊥平面ABED，PA=1，又，求异面直线PM与BD所成角的余弦值； 例2 如图，在四棱锥中，平面，，，，，为的中点． 求直线与平面所成角的余弦值． 小结：求斜线与平面所成角的方法： 变式1 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC，∠ABC＝120°，E为线段AB的中线，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F为线段A′C的中点. MA/F M A/ F E D C B A M变式2 已知四边形为直角梯形，，，平面，且，，取PC的中点M，求直线DM与平面PBD所成角的正弦值。 M 例3 如图，点P是边长为1的正方形ABED所在平面外的一点，且PA⊥平面ABED，PA=1，，且∠DME=90°，求平面PDM与平面ABED所成角的余弦值。 小结：求二面角的方法： 变式1 如图4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E. （1）证明：CF⊥平面ADF； （2）求二面角D－AF－E的余弦值. 变式2 如图，在四棱锥中，平面平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°, AB=CD=2，DE=BE=1，. 证明：平面; 求二面角的大小 课后练习： 1、如图所示，在直角梯形ABCP中，AP//BC，APAB，AB=BC=，D是AP的中点，E，F，G分别为PC、PD、CB的中点，将沿CD折起，使得平面ABCD． （Ⅰ）求证：AP//平面EFG； (Ⅱ) 求二面角的大小． （III）求FG与平面PBC所成角的正AD A D P C B G E F P D A B G C E F （IV）取CD的中点M，证明：平面PBM⊥平面PAB； CEDABM2、如图所示的几何体中，平面，平面,,且, 是的中点. C E D A B M (1) 求证： (2) 求与平面所成的角 (3) 求与平面所成的角 3、在四棱柱ABCD-中，底ABCD为矩形，侧面底面AC，侧面与底面AC所成二面角的大小为，BC=2AB，M为CD的中点. MD1C1B M D1 C1 B1 A1 D C B A (2)求MB与平面所成角的正弦值； (3)求AB与平面所成角的正弦值. 4、ABCB1C1A1在直三棱柱中，，，直线与平面成 角，求二面角 A B C B1 C1 A1 5、如图，在三棱锥中，，，，点在平面 内的射影在上， （1）求直线与平面所成的角的大小。 （2）求二面角的大小。