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§1. 函数的傅里叶级数展开 一.傅里叶级数的引进 在物理学中,我们已经知道最简单的波是谐波(正弦波), A sint  A  它是形如 的波,其中 是振幅, 是角频率, 是初相位.其他的波如矩形波,锯形波等往往都可以用一 f t 系列谐波的叠加表示出来.这就是说,设 是一个周期为T  的波,在一定条件下可以把它写成  f t A  A sinnt   0  n n n 1  A  a cos nt b sin nt 0  n n n 1 2 n  其中 是 阶谐波, A sinnt   a cos nt b sin nt n n n n T 我们称上式右端的级数是由 f t 所确定的傅里叶级 数 二. 三角函数的正交性 c c,c 2 2 设 是任意实数, 是长度为 的区间,由于三 2 角函数cos kx,sin kx 是周期为 的函数,经过简单计算, 有 c2 cos kxdx 2 cos kxdx 0,  c 0 k 1,2 ,  1 c2 2  sin kxdx  sin kxdx 0,  c 0 利用积化和差的三角公式容易证明 c2 sin kx cos lxdx 0  c  c2   sin kx sin lxdx 0 k l;l 1,2,  2 c  c2  cos kx cos lxdx 0  c  还有 c2