八、本科数学fourier多分辨第二次课Mallat算法.doc

- PAGE 14 - 国防科学技术大学 教　案 课程名称： 小波分析及应用 任课单位： 理学院数学与系统科学系 计算数学教研室 授课对象： 2011级数学专业本科生 主讲教员： 成礼智 教授 授课时间： 2013年秋季学期 Mallat算法 国防科技大学理学院 2013年秋季学期 课程 名称 Fourier分析与小波 总计：36学时 课程 类别 选修 学分 2 讲课：　30 　学时 自主学习：　6　　学时 任课 教师 成礼智 职称 教授 授课 对象 　2010级数学专业本科生选修课程 教材和基本参考资料 成礼智，王红霞，罗永，小波的理论与应用，科学出版社，2004 G.Strang,T Q Nguyen, Wavelets and Filter Banks, Welleseley MA:Welleseley-Cambridge Presss,1996， 3. S.Mallat, Introduction to Wavelets, SIAM 2002 教学 目的 任务 本课程是数学专业选修专业课。本课程以泛函分析与矩阵分析为基础，主要介绍Fourier变换与小波分析的基础理论,小波分析的典型应用.本课程的教学目的是在较短的学时内，提供数学专业本科生所需要的基本的小波分析基础知识知应用能力，使学生在掌握基本理论的基础上能够应用于解决实际问题. 内容 课时 分配 章 内　　容 学时数 1 傅里叶分析与预备知识 8 2 Haar小波分析 4 3 多分辨分析与小波构造 12 4 提升格式小波与整数变换 6 5 小波的典型应用 8 教研室意见 教研室主任签名 年　　月　　日 教案续页 教　学　基　本　内　容 备注 小波分析多分辨分析第二次课教案 课程内容：Mallat算法的数学与滤波器思想、算法的实现描述 本次课重点：Mallat算法的实现 难点：从滤波器设计角度分析Mallat算法 复习： 双尺度方程 定理 1假设为一个具有尺度函数的正交多分辨分析，则下列尺度关系式成立：，其中 并且有 或等价地表示为，其中。 尺度函数系数之间的简单关系 定理 2 假设为一个具有尺度函数的正交多分辨分析，则下列等式成立：（1）；（2）；（3）；(4) 利用尺度函数系数建立小波函数 定理3(S.Mallat) 设是一个正交MRA，则存在使得下面的双尺度方程 成立，并且，利用尺度函数构造的函数 其伸缩、平移构成的正交基，其中。 称之为小波函数。 上述三个定理表明，寻找小波的关键就是要求出系数。而今天讨论的主要问题是从系数出发，如何实现信号的分解（将信号的低频与高频分离）。 （4）信号处理中滤波运算基本概念 数学形式是卷积运算，高通（低通）滤波运算是通过对输入信号计算卷积使其输出信息分别为信号的高频（低频）部分，例如 低通 低通通 高通通 ?2 ?2 上面的图形表示一个信号经过高通（低通）滤波运算后输出信息分别为信号的高（低）频部分。 新课内容 Mallat算法推导 一、信号分解与重构的基本思想 多分辨分析理论为人们讨论信号的局部信息提供了一个相当直观的框架。这一点在非平稳信号中的作用尤其重要，因为非平稳信号的频率随时间而变化，这种变化可以分为慢变和快变两部分。慢变部分对应于非平稳信号的低频部分，代表信号的主要轮廓；而快变部分对应于信号的高频信息，表示的是信号的细节。上述结论对于图像而言仍然成立，即任何一幅图像都可以分解为两部分：低频（主体信息）和高频（细节纹理）。为了将信息的缓变（低频）与快变（高频）部分分开处理，Mallt系统提出了信号的塔式多分辨分解与重构的著名算法，俗称Mallat算法。一般认为，Mallat算法在小波分析中的地位类似于FFT在经典傅立叶分析中的地位。 Mallat算法的基本思想可以归纳如下：设为能量有限信号在分辨率（对应空间）下的近似。 近似的依据： 则可以进一步分解为在分辨率下的低频分量（通过低通滤波器得到），以及位于分辨率与之间的高频分量（细节）（通过高通滤波器得到）之和，其分解过程如下图所示： 信号不同频率分解图 下面讨论实施上述分解过程的具体表达式，为此，首先证明一个引理。 引理 1 双尺度方程中系数可以通过内积 （1） 来计算。 证明 利用双尺度方程得到 （2） 上式两端分别用函数作内积并利用尺度函数的正交性，得到。利用双尺度方程同理得到式（1）的第二个等式成立。 引理1的物理意义：中的基函数分别投影到子空间与后的低频与高频分量可以通过系数与来度量，即双尺度方程中的系数分别相当于低通与高通滤波器系数。 设与分别为尺度与小