控制系统的状态空间分析.ppt

Ch.2 控制系统的状态空间分析 概述(1/4) 概 述 建立了系统的数学描述之后,接着而来的是对系统作定量和定性的分析。 定量分析主要包括研究系统对给定输入信号的响应问题,也就是对描述系统的状态方程和输出方程的求解问题。 定性分析主要包括研究系统的结构性质,如 能控性、 能观性、 稳定性等。 线性定常连续系统状态方程的解(1/4) 2.1 线性定常连续系统状态方程的解 线性定常连续系统状态方程的解(3/4) 在讨论一般线性定常连续系统状态方程的解之前,先讨论线性定常齐次状态方程的解,以引入矩阵指数函数和状态转移矩阵等概念。 所谓齐次状态方程就是指状态方程中不考虑输入项(u(t)=0)的作用,满足方程解的齐次性。 研究齐次状态方程的解就是研究系统本身在无外力作用下的自由(自治)运动。 所谓非齐次状态方程就是指状态方程中输入项的作用,状态方程解对输入具有非齐次性。 研究非齐次状态方程的解就是研究系统在外力作用下的强迫运动。 线性定常齐次状态方程的解(1/2) 2.1.1 线性定常齐次状态方程的解 什么是微分方程的齐次方程? 齐次方程就是指满足解的齐次性的方程，即若x是方程的解，则对任意非零的实数a,ax亦是该方程的解。 所谓齐次状态方程，即为下列不考虑输入的自治方程 x’=Ax 齐次状态方程满足初始状态 线性定常齐次状态方程的解(2/2) 对上述齐次状态方程,常用的常微分方程求解方法有 矩阵指数法和 拉氏变换法 2种。 拉氏变换法(5/12) 为讨论方便,引入能描述系统状态转移特性的线性定常连续系统的状态转移矩阵如下: ?(t)=eAt 因此,有如下关系式 x(t)=?(t)x0 x(t)= ?(t-t0)x(t0) 由上述状态转移矩阵定义和齐次状态方程的解,系统状态转移矩阵有如下关系 ?(t)=L-1[(sI-A)-1] 拉氏变换法(6/12) 拉氏变换法(7/12) 线性定常连续系统的状态转移矩阵(1/1) 2.1.2 线性定常连续系统的状态转移矩阵 下面进一步讨论前面引入的状态转移矩阵,主要内容为: 基本定义 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质 基本定义(1/4)—状态转移矩阵的定义 1. 基本定义 定义： 对于线性定常连续系统x’=Ax,当初始时刻t0=0时,满足如下矩阵微分方程和初始条件: ?’(t)=A?(t), ?(t)|t=0=I 的解?(t)为线性定常连续系统x’=Ax的状态转移矩阵。 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(1/2) 2. 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质 由矩阵指数函数的展开式和状态转移矩阵的定义,可证明矩阵指数函数和状态转移矩阵具有如下性质(Φ(t)为方阵A的状态转移矩阵) 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(1/2) 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(1/2) 矩阵指数函数和状态转移矩阵的性质(4/2) 由状态转移矩阵的意义,有 x(t2)=Φ(t2-t1)x(t1) =Φ(t2-t1)[Φ(t1-t0)x(t0)] =[Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)]x(t0) 而 x(t2)=Φ(t2-t0)x(t0) 基本定义(2/4)—几类特殊形式的状态转移矩阵 当系统矩阵A为n×n维方阵时,状态转移矩阵Φ(t)亦为n×n维方阵,且其元素为时间t的函数。 下面讨论几种特殊形式的系统矩阵A的状态转移矩阵 1) 对角线矩阵。 当A为如下对角线矩阵: A=diag{?1 ?2 … ?n} 则状态转移矩阵为 式中，diag{…}表示由括号内元素组成对角线矩阵。 基本定义(3/4)—几类特殊形式的状态转移矩阵 (2) 块对角矩阵。当A为如下块对角矩阵: A=block-diag{A1 A2 … Al} 其中Ai为mi?mi维的分块矩阵,则状态转移矩阵为 式中，block-diag{…}表示由括号内各方块矩阵组成块对角矩阵。 基本定义(4/4)—几类特殊形式的状态转移矩阵 基本定义(4/4)—几类特殊形式的状态转移矩阵 基本定义(4/4)—几类特殊形式的状态转移矩阵 状态空间模型的线性变换和约旦规范形(1/8) 补： 状态空间模型的线性变换和约旦规范形 从上一节的讨论可知,同一个系统的状态空间模型,即使其维数相同,但其具体结构和系数矩阵也是多种多样的, 如系统矩阵A可以为对角线矩阵的或者约旦矩阵的, 也可以为其他形式的。 即, 状态空间模型不具有唯一性。 状态空间模型的线性变换和约旦规范形(2/8) 为何同一个系统具有不同的状态空间模型? 原因: 状态变量的不同选择 这就产生了一个问题: 各种不同选择的状态变量之间,以及它们所对应的状态空间模型之间的关系如何? 状态空间模型的线性变换和约旦规范形(3/8) 此外,在控制系统