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* 工程力学电子教案 重心和形心 * 第五章 重心和形心 §5-1 重心和形心的坐标公式 §5-2 确定重心和形心位置的具体方法 地球表面或表面附近的物体都会受到地心引力。任一物体事实上都可看成由无数个微元体组成，这些微元体的体积小至可看成是质点。任一微元体所受重力（即地球的吸引力）ΔPi ，其作用点的坐标xi、yi、zi与微元体的位置坐标相同。所有这些重力构成一个汇交于地心的汇交力系。由于地球半径远大于地面上物体的尺寸，这个力系可看作一同向的平行力系，而此力系的合力称为物体的重力 z x y P ΔPi Ci C C1 ΔP1 x1 y1 xC yC xi yi z1 zC zi o 平行力系合力的特点：如果有合力，则合力作用线上将有一确定的点C,当原力系各力的大小和作用点保持不变，而将各力绕各自作用点转过同一角度，则合力也绕C点转过同一角度。 C点称为平行力系的中心。对重力来说，则为重心。 z x y P ΔPi Ci C C1 ΔP1 x1 y1 xC yC xi yi z1 zC zi o 重心的位置对于物体的相对位置是确定的,与物体在空间的位置无关。 z x y P ΔPi Ci C C1 ΔP1 x1 y1 xC yC xi yi z1 zC zi o 重心位置的确定在实际中有许多的应用。例如，电机、汽车、船舶、飞机以及许多旋转机械的设计、制造、试验和使用时，都常需要计算或测定其重心的位置。 §5-1 重心和形心的坐标公式 1. 重心坐标的一般公式 z x y P ΔPi Ci C C1 ΔP1 x1 y1 xC yC xi yi z1 zC zi o 右图认为是一个空间力系，则 P=∑ΔPi 合力的作用线通过物体的重心，由合力矩定理 即 于是有 z x y P ΔPi Ci C C1 ΔP1 x1 y1 xC yC xi yi z1 zC zi o 同理有 为确定 zC ，将各力绕y轴转90o ，得 2. 均质物体的重心坐标公式 即物体容重g 系常量，则 于是有 z x y P ΔPi Ci C C1 ΔP1 x1 y1 xC yC xi yi z1 zC zi o 上式也就是求物体形心位置的公式。对于均质的物体，其重心与形心的位置是重合的。 z x y P ΔPi Ci C C1 ΔP1 x1 y1 xC yC xi yi z1 zC zi o 3. 均质等厚薄板的重心和平面图形的形心 对于均质等厚的薄板，如取平分其厚度的对称平面为xy平面，则其重心的一个坐标zC 等于零。设板厚为d ，则 有 V =A·d， ΔVi = ΔAi·d 则 上式也即为求平面图形形心的公式。 §5-2 确定重心和形心位置的具体方法 (1) 积分法； (2) 组合法； (3) 悬挂法； (4) 称重法。 具体方法： 1. 积分法 对于任何形状的物体或平面图形，均可用下述演变而来的积分形式的式子确定重心或形心的具体位置。对于均质物体，则有 z x y P ΔPi Ci C C1 ΔP1 x1 y1 xC yC xi yi z1 zC zi o 若为平面图形，则 求图示半圆形的形心位置。 C 2R O 例题 5-1 解：建立如图所示坐标系，则 xC= 0 现求 yC 。 则 例题 5-1 b(y) y dy C 2R O x y 代入公式有 例题 5-1 b(y) y dy C 2R O x y 2. 组合法 当物体或平面图形由几个基本部分组成，而每个组成部分的重心或形心的位置又已知时，可按第一节中得到的公式来求它们的重心或形心。这种方法称为组合法。 下面通过例子来说明。 角钢截面的尺寸如图所示，试求其形心位置。 y 150 20 x 20 200 O (a) y 150 20 x 20 200 O 1 2 (b) 例题 5-2 解：取Oxy坐标系如图(b)所示，将角钢分割成两个矩形，则其面积和形心为： A1 =（200-20）×20=3600 mm2 x1 = 10 mm y1 = 110 mm A2 = 150×20=3000 mm2 150 20 x 20 200 O y 1 2 (b) x2 = 75 mm y2 = 10 mm 例题 5-2 由组合法，得到 xC = A1 + A2 A1 x1 + A2 x2 = 39.5 mm C (xC ,yC) 150 20 x 20 200 O y 1 2 (b)