Mathematica指导(中科大教案).pdf

绪 论 0.1 符号计算系统简介 数值计算与符号计算 1946 年世界上第一台计算机 ENIAC (The Electronic Numerical Integrator and Computer) 是为数值积分服务的。 一提起计算机求解人们立刻想到的是数值求解，这是因为计算机的早期应用范围主 要是数值求解。其实数值求解是计算机求解的一个方面，计算机进行计算的另一方面即 对数学表示式的处理已形成一门新的科学分支，称为符号计算或计算机代数，它是一门 研究使用计算机进行数学公式推导的理论和方法，演算数学公式的理论和算法是它研究 的中心课题。 数值计算： 常量、变量、函数、运算符 -- 〉数值、字符、逻辑量 表达式 一个值 多 一 近似计算 例：计算 y=sin10+ln10 。其结果是 1.75856。 在高级语言中，算术表达式由常量、变量、函数和运算符等组成，算术表达式的 值为某一精度范围内的数值。计算各类表达式的值是高级语言的主要工作。 符号计算(计算机代数): 常量、变量值、函数值 -- 〉数值、字符、逻辑量 表达式 表达式 多 多 准确计算 2 2 ∫x sin xdx ＝ - （-2 + x ）cos x + 2 x sin x 与数值计算相比，符号计算对计算机硬件和软件提出了更高的要求。 符号计算系统 符号计算系统是一个表示数学知识和数学工具的系统， 一个集成化的计算机数学软件系统。 数值计算、 符号计算、 图形演示 程序设计 公式推导、数值计算和图形可视化操作一致性和连贯性。 符号计算系统的对象从初等数学到高等数学，几乎涉及所有数学学科。包括各种数 学表达式的化简、多项式的四则运算、求最大公因式、因式分解、常微分方程和偏微分 方程的解函数。各种特殊函数的推导、函数的级数展开、矩阵和行列式的各种运算和线 性方程组的符号解等。 和数值计算一样，算法也是符号计算的核心。就算法而言，符号计算比数值计算能 继承更多的更丰富的数学遗产，古典数学家许多算法仍然是核心算法的成员，近代数学 1 的算法成果也在不断地充实到符号计算中。 符号计算已成功地应用于几乎所有的科学技术和工程领域，其中包括数学理论领 域。由于它和数值计算一样，能够正确地完成人在短时间内无法完成的公式推导计算， 使得不少研究领域的前沿向前推移。 符号计算的应用 验证公式的工具 在十九世纪，法国文学家 Charles Delaunay 计算月亮的位置作为时间函数。从 1847 年到 1867 年用了 20 年的时间，完成并发表了长达数百页的计算方面的文章，推导了近 四万个公式。到1970 年MIT 的一个研究小组以Drprit 为首用符号计算软件对于Delaunay 的计算公式进行复算，只用了20 小时的 CPU 便完成了。复算表明原先的计算只有 3 个 错误，其中一个错误是某项的系数是 3 而不是 2 ，另外两个错误是由此而引起的。这是 一个很有代表性的例子。 例如：一个七个自由度行走的机器人，从运动方程求解加速度时，包括大量的多维 转换公式推导，可以有上百项，甚至上千项。这时只能用符号计算系统才能迅速、准确 的求解，在推导有限元的刚度矩阵中，在计算行列式展开和合并中，都可以用任何一个 符号计算系统来完成公式演算。 用符号计算系统进行公式推导，简单、正确和快速。它帮助科研人员摆脱了理论推 导中繁琐的一面，将精力更多的放在创造性的思维中。 理论研究中的实验方法 在物理、化学和生物学等许多自然科学领域中，实验是科学研究的一个手段。符号 计算系统的出现为数学领域和一些理论研究领域提供了“实验”工具。部分高校的“数 学实验室”应运而生。数学的创造大多来自直觉，用符号计算系统对设想的定理结论直 接验证，将待研究的方程绘出图形以观察变化趋势，会给科研人员带来不同程度的灵感