二重积分的计算法.ppt

二重积分的计算法 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 上页 下页 返回 退出 吉林化工学院 上页 下页 返回 退出 吉林化工学院 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 上页 下页 返回 退出 Jlin Institute of Chemical Technology 一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 如果区域D可以表示为不等式 j1(x)?y?j2(x), a?x?b, 则称区域D为X型区域. X型区域与Y型区域 如果区域D可以表示为不等式 y1(y)?x?y2(y), c?y?d, 则称区域D为Y型区域. 有的区域既是X型区域又是Y型区域, 而有的区域既不是X型区域又不是Y型区域, 但它总可以表示为若干个X 型区域和Y型区域的并. 提示? z?f(x, y)为顶, 以区域D为底的曲顶柱体的体积. 提示? 截面是以区间[j1(x0), j2(x0)]为底、以曲线z?f(x0, y)为曲边的曲边梯形. 提示? 根据平行截面面积为已知的立体体积的求法. 设f(x, y)?0, D={(x, y)|j1(x)?y?j2(x), a?x?b}. 二重积分的计算 对于x0?[a, b], 曲顶柱体在x?x0的截面面积为 曲顶柱体体积为 注? 计算一般二重积分只需取消f(x, y)?0的限制. 设f(x, y)?0, D={(x, y)|j1(x)?y?j2(x), a?x?b}. 二重积分的计算 对于x0?[a, b], 曲顶柱体在x?x0的截面面积为 曲顶柱体体积为 即 如果D是X型区域: D={(x, y)|j1(x)?y?j2(x), a?x?b}, 则 上式也可以记为 如果D是Y型区域: D={(x, y)|y1(y)?x?y2(y), c?y?d}, 则 二重积分的计算 先对x后对y 的二次积分 先对y后对x 的二次积分 如果D是X型区域: j1(x)?y?j2(x), a?x?b, 则 计算二重积分的步骤 如果D是Y型区域: y1(y)?x?y2(y), c?y?d, 则 (1)画出积分区域D的草图. (2)用不等式组表示积分区域D. (3)把二重积分表示为二次积分: (4)计算二次积分. 解 画出区域D. 方法一, 把D看成是X型区域: 于是 D: 1?x?2, 1?y?x. 注? 积分还可以写成 围成的闭区域? D: 1?y?2, y?x?2. 解 画出区域D. 方法二, 把D看成是Y型区域: 于是 围成的闭区域? 分析 积分区域可表示为X型区域 D: ?1?y?1, ?1?xy. D: ?1?x?1, x?y?1. 积分区域也可表示为Y型区域 提问? 哪个二次积分容易计算？ 及y?x所围成的闭区域?? 或 解 积分区域可表示为X型区域 D: ?1?x?1, x?y?1. 及y?x所围成的闭区域?? 分析 积分区域可表示为D?D1+D2, 其中 积分区域也可表示为 D: ?1?y?2, y2?x?y?2. 所围成的闭区域?????? 分析 积分区域可表示为D?D1+D2, 其中 积分区域也可表示为 D: ?1?y?2, y2?x?y?2. 提问? 哪个二次积分容易计算？ 所围成的闭区域?????? 解 积分区域可表示为 D: ?1?y?2, y2?x?y?2. 8 5 5 ] 6 2 3 4 4 [ 2 1 2 1 6 2 3 4 = - + + = - y y y y . 所围成的闭区域?????? 提示: 由对称性, 所求体积是第一卦限部分体积的8倍. 例4 求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积. 解 设这两个圆柱面的方程分别为 x2?y2?R2及x2?z2?R2. 所求立