泰勒公式的新证明及其应用 毕业论文.doc

PAGE PAGE 1 泰勒公式的新证明及其应用 中文摘要 数学分析与微积分学中，泰勒公式是将函数展成类似多项式的一个重要公式且数学分析和微积分的关键一环。 本文章新证明了泰勒公式且到出了泰勒公式的两个推广形式。着重论述了泰勒公式在证明不等式，极限运算，部分分式，级数的敛散性判别等方面的具体应用方法。 关键词：泰勒公式；泰勒余项；罗尔定理；等式和不等式；极限；高价导数；级数; 敛散性 目录 TOC \o 1-3 \h \z \u HYPERLINK \l _Toc230620197 中文摘要 PAGEREF _Toc230620197 \h 1 HYPERLINK \l _Toc230620198 引言 PAGEREF _Toc230620198 \h 1 HYPERLINK \l _Toc230620199 1.泰勒公式及其有关定理 PAGEREF _Toc230620199 \h 1 HYPERLINK \l _Toc230620200 1.1罗尔中值定理的两种推广形式 PAGEREF _Toc230620200 \h 2 HYPERLINK \l _Toc230620201 2. 泰勒公式的新证明 PAGEREF _Toc230620201 \h 4 HYPERLINK \l _Toc230620202 2.1 泰勒公式的推广 PAGEREF _Toc230620202 \h 5 HYPERLINK \l _Toc230620203 3.泰勒公式的应用 PAGEREF _Toc230620203 \h 7 HYPERLINK \l _Toc230620204 3.1利用泰勒公式求极限。 PAGEREF _Toc230620204 \h 7 HYPERLINK \l _Toc230620205 3.2泰勒公式在证明不等式中的应用 PAGEREF _Toc230620205 \h 9 HYPERLINK \l _Toc230620206 3.3泰勒公式在部分分式中的应用 PAGEREF _Toc230620206 \h 10 HYPERLINK \l _Toc230620207 3.4泰勒公式在 近似计算中的应用 PAGEREF _Toc230620207 \h 14 HYPERLINK \l _Toc230620208 3.5讨论级数的敛散性。 PAGEREF _Toc230620208 \h 15 HYPERLINK \l _Toc230620209 4.总结 PAGEREF _Toc230620209 \h 17 HYPERLINK \l _Toc230620210 参考文献 PAGEREF _Toc230620210 \h 18 HYPERLINK \l _Toc230620211 致谢 PAGEREF _Toc230620211 \h 19 引言 泰勒公式是数学分析和微积分学的一个重要公式，他有广泛的应用。下面我重新证明泰勒公式及简单的介绍泰勒公式在求极限，证明不等式，分解部分分式，求近似解，判别级数的敛散性等方面的应用 1.泰勒公式及其有关定理 大家都知道，一元函数泰勒公式指： 定理1.1（泰勒定理）设在内存在 阶连续导数， 那么对，有 这里称为在在的次泰勒余项，简称泰勒余项。 （1）特别低称为佩亚诺余项。 （2）称为拉格朗日余项，其中在与之间。 （3）称为积分型余项。 由于泰勒余项形式的不同，文（1）、（2）、(3)分别利用洛比达法则、柯西中值定理及分部积分法证明了泰勒公式。本文先探寻得到了罗尔中值定理的两种推广形式，然后利用其重新证明了泰勒公式，并进而导出了泰勒余项的两种更一般形式。 本文还论述了泰勒公式的有些最方便的应用。 1.1罗尔中值定理的两种推广形式 引理1： 设函数满足： (i)在上存在直到阶的连续导数； (ii)在内阶可导； (iii)，且… 。（ 或者，且 =… ） 那么在内至少存在一点，使。 证：在条件(iii)中仅就 ，且 =… 的情形给出证明，至于后一情形可类似证明。 由假设，在上连续、可导，且，从而由罗尔定理知在内至少存在一点，使。注意到在上也连续、可导，且，再由罗尔定理知在内至少存在一点，使，结合假设条件，再反复使用罗尔定理， 次，可得 在 上连续，在 内可导，且，故知在内至少存在一点，使。 引理2：设函数满足： (i)在上存在直到阶的连续导数； (ii)在内，阶可导； (iii) ，且，=… ，（ 或者，且 … ） 那么对任何常数，在内至少存在一点，使 证：由假设可完全类似引理1前面部分的证明，连续使用次罗尔定理即知在内至少存在一点，使。 于是对任何常数 ，函数在上连续、在内可导，且由罗尔定理知， 在内至