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数理统计基础 6.2 统计量与抽样分布 在利用样本推断总体的性质时，往往不能直接利用样本，而需要对它进行一定的加工，这样才能有效地利用其中的信息，否则，样本只是呈现为一堆“杂乱无章”的数据． 6.2 统计量与抽样分布 【例6.3】从某地区随机抽取50户农民，调查其人均年收入情况，得到数据（单位:元）如下： 试对该地区农民收入的水平和贫富悬殊程度做个大致分析． 6.2 统计量与抽样分布 解：显然，如果不进行加工，面对这一大堆大小参差不齐的数据，很难得出什么印象．但是可以对这些数据稍事加工，如记各农户的人均年收入分别为x1，x2，...，x50，计算得到 这样，就可以了解到该地区农民的平均收入和该地区农民贫富悬殊的大致情况：农民的年人均平均收入大约为809.52元，标准差约为155.85元，贫富悬殊不算很大． 6.2 统计量与抽样分布 由此可见对样本的加工是十分重要的．对样本加工，主要就是构造统计量． 6.2.1 统计量 定义6.2 设X1，X2，…，Xn为来自总体X的样本，称不含未知参数的样本的函数g(X1，X2，…，Xn)为统计量．若x1，x2，...，xn为样本观测值，则称g(x1，x2，...，xn)为统计量g(X1，X2，…，Xn)的观测值. 统计量是处理、分析数据的主要工具．对统计量的一个最基本的要求就是可以将样本观测值代入进行计算，因而不能含有任何未知的参数． 6.2.1 统计量 【例6.4】设X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，X～N(?，? 2)，其中? 、? 2为未知参数，则 X1， min{ X1，X2，…，Xn } 均为统计量， 但诸如 等均不是统计量，因它含有未知参数? 或?． 常用的统计量有如下几种： 6.2.1 统计量 1. 有关一维总体的统计量 设X1，X2，…，Xn为总体X的样本，x1，x2，...，xn为样本观测值， (1) 样本均值 常用来作为总体期望（均值）的估计量，其观测值为 6.2.1 统计量 (2) 样本方差 (3) 样本标准差 样本方差和样本标准差刻画了样本数据的分散程度，常用来作为总体方差和标准差的估计量. 观测值分别为 6.2.1 统计量 (4) 样本k阶原点矩（简称样本k阶矩） ，(k = 1，2，…) (5) 样本k阶中心矩 ，(k = 2，3，…) 显然 Ak和Bk的观测值分别记为 6.2.1 统计量 定理6.1 设总体X的期望E(X) = ? ,方差D(X) = ? 2，X1，X2，…，Xn为总体X的样本， ，S2分别为样本均值和样本方差，则 6.2.1 统计量 由辛钦大数定理和依概率收敛的性质可以证明 定理6.2 设总体X的k阶原点矩E(X k) = ? k存在（k = 1，2，…，m），X1，X2，…，Xn为总体X的样本，g(t1，t2，…，tm)是m元连续函数，则 特别有 6.2.1 统计量 2. 有关二维总体的统计量 设(X1，Y1)，(X2，Y2)，…，(Xn，Yn)为二维总体(X，Y)的样本，其观测值为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则下列各量为统计量： (1) 样本协方差 (2) 样本相关系数 其中 SXY和RXY常分别用来作为总体X和Y的协方差Cov(X，Y)与相关系数?XY的估计量． 6.2.1 统计量 【实验6.2】用Excel对例6-3中的数据计算统计量样本均值、样本方差和样本标准差的观测值． 实验准备： (1) 函数AVERAGE的使用格式： AVERAGE(number1, number2, ...) 功能：计算给定样本的算术平均值． (2) 函数VAR的使用格式： VAR(number1,number2,...) 功能：计算给定样本的方差． (3) 函数STDEV的使用格式： STDEV(number1,number2,...) 功能：计算给定样本的标准差． 6.2.1 统计量 实验方法一： (1) 输入数据及统计量名，如图6-7左所示． (2) 计算样本均值，在单元格H2中输入公式： = AVERAGE(A2:E11) (3) 计算样本方差s2，在单元格H3中输入公式：