高考总复习理科数学-立体几何与空间向量.ppt

空间中点到平面的距离 如右图所示，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1中点，点F为BD1中点． 求点D1到面BDE的距离． S △ DBE ＝ 1 2 · 3 2 ·( 2 ) 2 ＝ 3 2 ， ∴ d ＝ 2 × 2 2 3 2 ＝ 2 3 3 . 故点 D 1 到平面 BDE 的距离为 2 3 3 . 点评： 等体积法是求点到平面距离的常用方法，一般是 找到一个三棱锥，利用选择不同的顶点后 ，三棱锥自身体积 相等的特性进行求解．使用等体积法的前提是几何体的体积 一定可以通过题设算得． 变式探究 4.(2008年北京卷)如右图所示，在三棱锥P－ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC. (1)求证：PC⊥AB； (2)求二面角B－AP－C的正弦值； (3)求点C到平面APB的距离． 解析：(1)取AB中点D，连结PD，CD. ∵AP＝BP，∴PD⊥AB.∵AC＝BC，∴CD⊥AB. ∵PD∩CD＝D，∴AB⊥平面PCD. ∵PC?平面PCD，∴PC⊥AB. 　 (2)∵AC＝BC，AP＝BP，∴△APC≌△BPC. 又PC⊥AC，∴PC⊥BC. 又∠ACB＝90°，即AC⊥BC，且AC∩PC＝C， ∴BC⊥平面PAC.取AP中点E.连结BE，CE. ∵AB＝BP，∴BE⊥AP. ∵EC是BE在平面PAC内的射影， (3)由(1)知AB⊥平面PCD，∴平面APB⊥平面PCD. 过C作CH⊥PD，垂足为H. ∵平面APB∩平面PCD＝PD， ∴CH⊥平面APB. ∴CH的长即为点C到平面APB的距离． 由(1)知PC⊥AB， 又PC⊥AC，且AB∩AC＝A， 温馨提示 1．空间各种角的计算方法都是转化为平面角或两向量的夹角来计算的，对空间各种角概念必须深刻理解．平行和垂直可以看作是空间角的特殊情况． 2．几何法在书写上体现：“作出来、证出来、指出来、算出来、答出来”五步． 高考总复习.理科.数学 立体几何与空间向量 第二节　空间角的概念及其求法和 空间距离的求法 课前自主学案 知识梳理 1．异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，a′，b′所成的角的大小与点O的选择无关，把a′，b′所成的锐角(或直角)叫异面直线a，b所成的角(或夹角)．为了简便起见，点O通常取在异面直线的一条上． (2)异面直线所成的角的范围： . (3)求异面直线所成的角的方法：①几何法；②向量法． . 2．直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角． 特例：当一直线垂直于平面，规定它们所成的角是直角；当一直线平行于平面或在平面内，规定它们所成角为0°角． (2)直线和平面所成角范围： . 3．二面角 (1)定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面．若棱为l，两个面分 别为α，β的二面角记为α－l－β. (2)二面角的平面角 ①过二面角的棱上的一点O分别在两个半平面内作棱的两条垂线OA，OB，则∠AOB叫做二面角α－l－β的平面角． ②一个平面垂直于二面角α－l－β的棱l，且与两半平面交线分别为OA，OB，O为垂足，则∠AOB就是α－l－β的平面角． 注意：二面角的平面角范围是[0，π]； 二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直． (3)二面角大小的求法：①几何法；②向量法． (4)求二面角的射影公式：cos θ＝ ， 其中各个符号的含义是：S是二面角的一个面内图形F的面积，S′是图形F在二面角的另一个面内的射影，θ是二面角的平面角大小. 4．三种空间角的向量法计算公式 (1)异面直线a，b所成的角θ：cos θ＝ | ；(其中a，b分别是异面直线a，b的方向向量)． (2)直线a与平面α(其法向量为n)所成的角θ：sin θ＝ (3)锐二面角θ：(方法1)：cos θ＝ 其中m，n为两个面的法向量．(方法2)：cos θ＝，其中a，b是分别在两个面内且与棱都垂直的向量． 5．求点到平面的距离及其向量公式 (1)点到平面的距离：点与它在的平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离． (2)点到平面距离的向量公式：设平面α的一个法向量为n，点P是