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复变函数总结 复数的表示 1.2.1 复数的几何表示 复数的乘幂与方根 极限和连续性 函数可导 调和函数 若函数f(z)=u+iv在区域B上解析，则u,v均为B上的调和函数。 柯西－古萨基本定理 柯西积分公式 如果 在有界区域D内处处解析，L为D内的任何一条正向简单闭曲线，且其内部全含于D, 为L内的任一点，那么 一致收敛 留数定理 用留数定理计算实积分 复形式的Fourier级数 复形式的Fourier积分与Fourier变换 Fourier变换的性质 ? -函数的性质 Laplace变换 Laplace变换的性质 Laplace变换之应用 用于求解常微分方程的初始问题 基本函数族 函数 f(x) 的Fourier展开式 其中 复形式的Fourier积分定理 性质2（积分性质）F 性质4（延迟性质）F 性质6（卷积性质）F 性质1（导数性质）F 性质3（相似性质）F 性质5（位移性质）F ? -函数的定义 或 称这样的函数为? -函数，记为 ?(x)和?(x-x0) 更一般地 性质1：对于 连续f(x)，有 性质2：如果 ?(x)=0 的根xk (k=1,2,…) 全是单根，则 ? -函数的形式定义 或 称这样的函数为? -函数，记为 ?(x)和?(x-x0) 更一般地 Laplace逆变换 Laplace变换 L -1 L = I 性质1（导数性质） L 性质2（积分性质） L 性质4（延迟性质） L 性质3（相似性质） L 性质5（位移性质） L 性质6（卷积性质） L * 区域 简单闭曲线 简单 非简单 如果简单曲线的起点和终点重合，则称为简单闭曲线． 复变函数 等价两个二元实函数 考察函数 即 因此 对应 定义： 内有定义 记作 定义：如果　　　　　　则称　　在　处 　　　连续．如果　　在区域　内每一点 　　　处处连续，则说　　在　内连续 ．函数解析 函数解析的充要条件 4. 双曲函数 恒等式： 函数的积分 １.积分的定义： 　　　　　　　　　如果函数　　在单 连通区域　内处处解析．那么函数　　 沿　内任何一条封闭曲线　的积分为零　 柯西－古萨基本定理： 推广:解析函数的积分围线收缩过程中不碰到起点,则积分值不变! 复数项级数 其中通项为： 部分和： 绝对收敛 绝对收敛级数的判别方法 幂级数 幂级数的收敛圆及其收敛半径 确定幂级数的收敛半径 可以利用正项级数的比值判别法来确定幂级数的收敛半径： 根式判别法： 解析函数的泰勒展开 几个重要的 Maclaurin 级数 环形区域内的解析函数: Laurent 级数 1、级数不含负幂项，b 称为可去奇点。 2、级数展开式含有 m 项负幂项，b 称为 m 阶极点。 3、级数含有无穷多项负幂项， b 称为本性奇点。 * * *