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例 已知系统的动态方程为 求系统的传递函数。 解: 由题可知 由此可算出 8.3 多输入多输出(MIMO)系统状态空间表达式和传递矩阵 一、多输入多输出n阶线性系统的状态空间表达式 多输入多输出系统方框图 可写出方程组 将方程组改成矩阵微分方程的形式,即 式中 同理得输出方程 式中 二、传递矩阵 在零初始条件时,用拉氏变换的形式表示的输出与输入关系如下: 用矩阵方程表示为 可以写成 G(s)即为双输入双输出系统的传递矩阵。 推广到有r个输入量和m个输出量的多变量系统,其传递矩阵G(s)为 三、系统状态空间表达式与传递矩阵的关系 设系统的状态空间表达式为 对上式进行拉氏变换,得 若X(0)=0,则上式可改写成X(s)=(sI -A)-1BU(s)代入第二式得 式中 定义为传递矩阵 所以 特征方程为 因为 设系统的动态方程为 试求该系统的传递函数矩阵。 例: 解: 已知 故 设系统的状态方程为 试求系统的特征方程和特征值。 例: 系统的特征方程为 解: 特征方程的根为-1、-2和-3。矩阵A的特征值也为-1、-2和-3。两者是一样的。 四、闭环传递矩阵与开环传递矩阵的关系 多变量控制系统,其前向通道的传递矩阵为G0(s);反馈通道的传递矩阵为H(s); Y(s)和U(s)分别为输出输入矢量:E(s)和B(s)分别为误差和反馈信号矢量。 故得 则得闭环系统的传递矩阵为 若H(s)为单位矩阵,即H(s)=I,则 五、多变量控制系统的解耦问题 多变量系统,而且存在交联现象,其输入量对输出量都会产生影响。 通常要求一个输入量只对一个输出量有影响。这就是多变量系统的解耦问题。 例如：双变量系统的输出与输入关系 解耦的方法是加入一组补偿器,使最后的闭环传递矩阵成为对角线矩阵,这样可以使n个输入和n个输出互相独立,达到消除相互干扰的目的。 补偿后的系统传递函数矩阵成为对角线矩阵 现在考虑反馈矩阵H(s)为单位矩阵的情况,于是可得 式中 由[I+G0(s)]左乘上式 得 以[I-G(s)]-1右乘上式的两边,则可得 所以解耦矩阵为 自动控制原理 第八章 状态空间分析法 状态空间分析法 8.1 概 述 在经典控制理论中，用传递函数来设计和分析单输入?单输出系统。但传递函数只能反映出系统输出变量与输入变量之间的外部关系，而了解不到系统内部的变化情况。此外，传递函数描述又是建立在零初始条件的前提下，故它不能包含系统的全部信息。在设计多变量和时变系统时，采用经典控制理论会遇到很大的困难。 经典控制理论: 以微分方程和传递函数为数学基础分析和设计控制系统 主要研究单输入、单输出的线性定常系统 主要方法是频率特性法和根轨迹法 极为有效，广为应用 在现代控制理论中，用状态变量来描述系统。这时系统是用一阶矩阵－向量微分方程来描述的，采用矩阵表示法可以使系统的数学表达式简洁明了，并且易于用计算机求解。 状态方程是计算动态特性的线性定常系数矩阵微分方程,输出方程是用来计算所观察参数的线性代数方程。 局限性： 传递函数对处于系统内部的变量不便描述，对某些内部变量不能描述 对于时变系统、复杂的非线性、多输入多输出系统的问题不适用 表8.1 经典和现代控制理论对比 范围广 极为普遍 应用情况 多输入多输出连续、离散时变集中参数系统 单输入单输出线性定常连续、离散时变集中参数系统 应用范围 矩阵理论、泛函分析、概率统计等 常微分方程、复变函数、Laplace变换等 数学工具 传递矩阵、状态方程 传递函数、微分方程 数学模型 1960年至现在 1940-1960年 时 间 现 代 经 典 结构图 以单片机、微处理器，软件为主 以模拟硬件为主 控制器 已规范化，精度高，有标准的算法程序 已工程化，直观，具体，精度一般 特 点 现 代 经 典 8.2 动态系统的状态空间分析法 一、基本概念 1.状态：系统的状态就是系统过去、现在和将来的状况。 系统的状态可以定义为信息的集合。 表征系统运动的信息。 2.状态变量 系统的状态变量是指可以完全表征系统运动状态的最少个数的一组变量x1、x2、…、xn,并且满足下列两个条件: (1) 在任何时刻t=t0,这组变量的值x1(t0)、x2(t0) 、…、xn(t0)都表示系统在该时刻的状态; (2) 当系统在t≥t0的输入和上述初始状态确定的时候,状态变量应完全能表征系统在将来的行为。 3.状态矢量 设一个系统有n个状态变量x1、x2、…、xn,用这n个状态变量作为分量所构成的矢量X,称为该系统的状态矢量。 4.状态空间 状态矢量所有可能值的集