离散数学——“代数结构（系统）”部分.ppt

离 散 数 学 ——“代数结构（系统）”部分 专题讲座 主 要 内 容 1. 数学体系之构建 2. 代数结构（系统）的主要分支 3. 典型剖析代数结构（系统）的进展 —— 布尔代数及其泛化结构 4. KM 教学法简介 1. 数学体系之构建 试图统一全部数学的思潮,一直贯穿于近代与现代数学的发展中. 在二十世纪数学发展的过程中，法国布尔巴基学派把人类长期积累起来的数学知识，按数学结构整理成一个井井有条的、博大精深的体系。这个体系成为许多研究工作的出发点和指南，成为当代数学的一个重要组成部分，而且随着数学的发展，又给人类提出一个重要的任务：即在特殊的对象上发现新结构、形成新理论；而这种特殊对象的生长点又往往存在于数学乃至整个科学发展的矛盾点中。 粗略地讲，数学世界的核心可归结为几类特定的、主要的数学结构（如代数结构、序结构、拓扑结构及其混合结构等），而每一类型的结构又可分为许多分支，并且期间又表现出相互渗透、相互交织、相互作用的多层次的复杂联系，这些受着数学自身发展的逻辑必然性的制约。 例如，代数拓扑就是把具有拓扑空间中的某些点集（如单形、闭链等）作为元素，在其上面引入代数运算及代数结构，从而对拓扑空间加以研究。 同样，序结构和代数结构的结合，一方面可以得到整除化理论及理想理论，另一方面又导致积分、谱理论及算子理论的产生和发展。 前苏联科学院通讯院院士亚历山大洛夫把整个数学比喻为“以集合论和数理逻辑为根基的巨大的榭树”。 离散数学涵盖了“两块基石”；同时涵盖了上述的几类特定的、主要的数学结构。 2. 代数结构（系统）的主要分支 代数（Algebra）是数学的一个分支。是算术的概括和延伸。在现代数学中，代数主要研究各种代数结构，诸如群、环、域、格的数学学科。 代数结构又称代数系统。一个代数结构包含集合及符合某些公理的运算或关系，是抽象代数的主要研究对象。抽象代数是数学的一个分支，也称近世代数，它用代数的方法从不同的研究对象中概括出一般的数学模型并研究其规律、性质和结构。 代数结构包括以下五个部分：算术、初等代数、高等代数、数论、抽象代数。 　 1. 算术是数学中最古老、最基础和最初等的部分。它研究数的性质及其运算。 2.初等代数研究数字和文字的代数运算理论和方法，确切说是研究实数和复数，及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法。初等代数的中心内容是解方程。 3.高等代数研究的是由一次方程组发展而来的线性代数理论和由二次以上方程发展而来的多项式理论的基础。 4.数论研究由整数按一定形式构成的数系。19世纪后半期出现了解析数论，用分析方法研究素数的分布。20世纪出现了完备的数论理论。 5. 抽象代数又称近世代数，产生于19世纪。其创始人是法国数学家伽罗华。 抽象代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科。由于代数可处理实数与复数以外的物集，例如向量、矩阵、超数、变换等，这些物集分别依它们各有的演算定律而定，数学家将个别的演算经由抽象手法，把共有的内容升华出来，并因此而达到更高层次，就产生了抽象代数。 抽象代数包含有伽罗华理论、群论、环论、格论、向量代数、外代数等许多分支，并与数学其它分支相结合产生了代数几何、代数数论、代数拓扑、拓扑群等新的数学学科。抽象代数已经成为当代大部分数学的通用语言。 (1)伽罗华理论：伽罗华是抽象代数的创始人。“伽罗华域”、“伽罗华群”和“伽罗华理论”都是抽象代数所研究的最重要的课题。伽罗华群理论被公认为19世纪最杰出的数学成就之一，为方程可解性问题提供了全面而透彻的解答，使代数学由作为解方程的科学转变为研究代数运算结构的科学 。群论以结构研究代替计算，把从偏重计算研究的思维方式转变为用结构观念研究的思维方式，并把数学运算归类，使群论发展成为一门崭新的数学分支，对抽象代数的形成和发展产生了巨大影响。伽罗华之后群论在众多著名数学家的努力下得到了进一步的丰富和发展。 (2)群论:一般群与特殊群的研究.(伽罗华群,费德洛夫群…) (3)环论:环是一个具有两种二元运算的代数系统。在抽象代数产生的19世纪，数学家们开始研究满足所有合成律（即加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律，以及乘法对加法的分配律等等）或者满足其中的一部分的集合。倘若一个集合具有加法、乘法和相应的运算性质，就称为环。环论是抽象代数中较晚成熟的，20