函数的单调性与曲线的凹凸性.ppt

一、 函数单调性的判定法 例1. 确定函数 说明: 例2. 证明 * 证明 例8. 求曲线 例9. 求曲线 内容小结 思考与练习 2. 曲线 * * 数 学 分 析 1°使学生深刻理解函数单调性的判定法 、函 数的凹凸性及拐点；在微分中值定理中地位。 2°通过知识学习，使学生初步具有应用中值 定理进行分析论证的能力，能用以证明某 些有关的命题，特别是掌握通过构造辅助 函数解决问题的办法。 教学目标： 函数的单调性与 曲线的凹凸性 若 定理 1. 设函数 则 在 I 内单调递增 (递减) . 证: 无妨设 任取 由拉格朗日中值定理得 故 这说明 在 I 内单调递增. 在开区间 I 内可导, 证毕 的单调区间. 解: 令 得 故 的单调增区间为 的单调减区间为 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点. 例如, 2) 如果函数在某驻点两边导数同号, 则不改变函数的单调性 . 例如, 时, 成立不等式 证: 令 从而 因此 且 证 令 则 从而 即 二. 曲线的凹凸与拐点 前面我们介绍了函数的单调性和极值，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。 o y x L3 L2 L1 A B 如右图所示L1 ，L2 ，L3 虽然都是从A点单调上升到B点，但它们的弯曲方向却不一样。 L1 是“凸”弧，L2是“凹”弧 ，L3既有凸弧 ，也有凹弧，这和我们日常习惯对凹凸 的称呼是一致的。 1.曲线凹凸的定义 问题:如何研究曲线的弯曲方向? 图形上任意弧段位 于所张弦的上方 图形上任意弧段位 于所张弦的下方 2.曲线凹凸的判定 定理1 证明 分别应用L—定理，得 两式相减，得 由假设 这就证明了 同理可证（1） 注 定理的结论可推广到任意区间上 例1 解 注意到, 3.曲线的拐点及其求法 1.定义 注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线. 2.拐点的求法 证 方法1: 例2 解 凹的 凸的 凹的 拐点 拐点 方法2: 例3 解 注意: 二阶导数变号， 例5 解 例6 求曲线 的拐点 解 是拐点 例7 ——Jensen不等式 证 由Taylor公式，得 各式乘以 再相加，得 =1 =1 的拐点. 解: 不存在 因此点 ( 0 , 0 ) 为曲线 的拐点 . 凹 凸 的凹凸区间及拐点. 解: 1) 求 2) 求拐点可疑点坐标 令 得 对应 3) 列表判别 故该曲线在 及 上向上凹, 向上凸 , 点 ( 0 , 1 ) 及 均为拐点. 凹 凹 凸 1 2 -1 0 1 2 3 4 5 -40 -20 0 20 40 60 80 100 例10. 求函数 3 12 9 2 ) ( 2 3 - + - = x x x x f 的单调区间。 f=2*x^3 - 9*x^2+12*x - 3; dfdx=diff(f,x) dfdx = 6*x^2 - 18*x+12 s=6*x^2 - 18*x+ 12 ， x0=solve(s) s =6*x^2 - 18*x+12 x0 = 1, 2 1. 可导函数单调性判别 在 I 上单调递增 在 I 上单调递减 2.曲线凹凸与拐点的判别 + – 拐点 — 连续曲线上有切线的凹凸分界点 上 则 或 的大小顺序是 ( ) 提示: 利用 单调增加 , 及 B 1. 设在