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习题二
1.化下列矩阵为Smith标准型:
(1);
(2);
(3);
(4).
解:(1)对矩阵作初等变换
,
则该矩阵为Smith标准型为
;
(2)矩阵的各阶行列式因子为
,
从而不变因子为
故该矩阵的Smith标准型为
;
(3)对矩阵作初等变换
故该矩阵的Smith标准型为
;
(4)对矩阵作初等变换
在最后的形式中,可求得行列式因子
,
于是不变因子为
故该矩阵的Smith标准形为
.
2.求下列矩阵的不变因子:
(1);
(2);
(3);
(4).
解:(1)该矩阵的右上角的2阶子式为1,故
而
,
所以该矩阵的不变因子为
;
(2)当时,由于
,,
故不变因子为
,
当时,由于
,
且该矩阵中右上角的3阶子式为
且,
则,故,所以该矩阵的不变因子为
;
(3)该矩阵的右上角的3阶子式为,故
而
,
所以该矩阵的不变因子为
;
(4)该矩阵的行列式因子为
,
所以该矩阵的不变因子为
.
3.求下列矩阵的初等因子:
(1);
(2).
解:(1)该矩阵的行列式因子为
,
故初等因子为;
(2) 该矩阵的行列式因子为
,
故不变因子为
因此,初等因子为.
4.求下列矩阵的Jordan标准形:
(1);(2);(3);
(4);(5);(6).
解:(1)设该矩阵为,则
,
故的初等因子为
,
则的Jordan标准形为
;
(2)设该矩阵为,则
,
故的初等因子为
,
从而的Jordan标准形为
;
(3)设该矩阵为,则
,
故的初等因子为
从而的Jordan标准形为
;
(4)设该矩阵为,则
,
故的初等因子为
,
从而的Jordan标准形为
;
(5)设该矩阵为,则
,
故的初等因子为
,
从而的Jordan标准形为
;
(6)设该矩阵为,则
,
该矩阵的各阶行列式因子为
,
则不变因子为
,
故初等因子为
,
则的Jordan标准形为
.
5.设矩阵
,
求.
解:矩阵的特征多项式为
,
故的特征值为,.
属于特征值的特征向量为,
属于的特征向量为.
设
,,
则.,故
.
6.设矩阵
,
求的Jordan标准形,并求相似变换矩阵,使得.
解:(1) 求的Jordan标准形.
,
故其初等因子为
,
故的Jordan标准形
.
(2)求相似变换矩阵.
考虑方程组
即
解之,得
.
其通解为
=,
其中为任意常数.
考虑方程组
,
故当时,方程组有解.
取,解此方程组,得
.
则相似变换矩阵
.
7.设矩阵
,
试计算.
解: 矩阵的特征多项式为
,
由于
,
其中.
且
,
故
=.
8.证明:任意可逆矩阵的逆矩阵可以表示为的多项式.
证明:设矩阵的特征多项式为
,
则
,
即
,
因为可逆,故,则
9.设矩阵
,
试计算.
解: 矩阵的特征多项式为
,
则
,
而
,
故
.
10.已知3阶矩阵的三个特征值为1,-1,2,试将表示为的二次式.
解: 矩阵的特征多项式为
,
则设
,
由得
解之,得
,
因此
.
11.求下列矩阵的最小多项式:
(1);(2);
(3)阶单位阵;(4)阶方阵,其元素均为1;
(5).
解:(1) 设,则
,
故该矩阵的最小多项式为.
(2) 设,则
,
故该矩阵有三个不同的特征值,因此其最小多项式为
(3) 阶单位阵的最小多项式为.
(4) 因为
,
又,即,故该矩阵的最小多项式为.
(5)因为
,
而是的因子,经检验知是矩阵的最小多项式.
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