圆锥曲线三个经典实验6.pdfVIP

华南师范大学 数学科学学院 数学实验报告 3 2015 3 28 实验序号： 日期： 年 月 日 班级：12 组别：123 成员：林佳彦 林佳佳 刘嘉棣 郑 素萍 黄永欣 1. 实验名称：关于圆锥曲线产生的三个经典实验 2.实验目的： 沿着历史的轨迹，重走前人发现圆锥曲线的历程。重现圆锥曲线产生 的三个经典实验——梅内克缪斯的割圆锥法、阿波罗尼奥斯的割圆锥法、Dandelin 双 球实验。探讨圆锥曲线的种类和各种圆锥曲线产生的条件。 3.实验方法：利用实物、模具观察，利用几何画板课件进行探讨、反思 4.实验器材：卡纸、水、橡皮泥、乒乓球、透明软文件夹 5.实验过程：（操作步骤、异常情况报告、处理方法） 一、 梅内克缪斯割圆锥法——最早对圆锥曲线的命名 背景：公元前 4 世纪，希腊著名学者梅内克缪斯首先发现了圆锥曲线.他用平面去截圆 锥曲面而得到截痕,并称之为圆锥曲线. 当时的圆锥曲面都是通过直角三角形的一条 直角边为旋转轴旋转而成的. 根据轴三角形顶角的不同,将圆锥曲面分为锐角圆周、钝 角圆锥和直角圆锥. Menaechmus 用垂直于一条母线的平面去截这三种圆锥面，得到三 种不同的截痕。在锐角圆锥上的截痕定义为椭圆，钝角圆锥上的截痕是双曲线（的一 支），在直角圆锥上的截痕是抛物线. 值得注意的是，梅内克缪斯虽然推导了圆锥曲线 的一些性质，但并没有建立焦点、焦半径的概念. 并且当时所使用的旋转体均为直角 三角形，得到的均为正圆锥，有一定的局限性. 1 华南师范大学 数学科学学院 （1）我们小组通过用建立坐标轴的方式，将梅内克缪斯割圆锥法用现在定义的圆锥曲 线方程进行验证，发现其与现在的圆锥曲线方程是相符的. 即两种定义是相符的，满足 了定义的一致性. 1 直角圆锥： ○ ∵平面 DEG⊥平面 ABC,平面 PVR⊥ABC ∴QP⊥平面 ABC ∴PQ⊥RV 又 ∵RV是直径 ,根据射影定理 ∴PO²=RO×OV DO OV DODG ∵△HDG∽DOV ∴ = OV= 且 RO=HD HD DG HD DODG 2 ∴PO=RO×OV=HD× =DO×DG HD 若我们建立以 D为圆心,DF为 X轴的直角坐标系,P点坐标为(x,y) 则得到曲线方程为:y2DGx,其中 DG 由点D 的位置决定,是一个常数 这正好符合我们现代解析几何中的抛物线的方程。即梅内克缪斯的定义和现代定义是 2 华南师范大学 数学科学学院 相符的！ 2 锐角圆锥 ○ 同上面直角圆锥的证明中一样，得到PQ=CQ×QD2 CQ AQ ∵△CAQ∽△FDQ ∴ = ，即CQQD=AQFQ FQ DQ QF QD AGQD 又∵△QDF∽△AEG ∴ = ，即 QF= AG AE AE QD QB ∵△QDB∽△AEB ∴