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第三章 对偶理论及灵敏度分析 3.1.1 线性规划对偶问题 3.1.2 对偶问题的基本性质 3.1.3 影子价格 3.1.4 对偶单纯形法 3.2.1 灵敏度问题及其图解法 3.2.2 灵敏度分析 3.2.3 参数线性规划 3.1.1 线性规划的对偶问题 一、对偶问题的提出 二、原问题与对偶问题的数学模型 三、原问题与对偶问题的对应关系 一、对偶问题的提出 实例:某家电厂家利用现有资源生产两种 产品, 有关数据如下表: 二、原问题与对偶问题的数学模型 三、原问题与对偶问题的对应关系 线性规划的对偶问题 3.1.2 对偶问题的基本性质 引例 对称性 弱对偶性 最优性 对偶性(强对偶性) 互补松弛性 对偶问题的基本性质 对偶问题的基本性质 二、弱对偶性定理: ——若 和 分别是原问题(1)及对偶问题(2)的可行解,则有 从弱对偶性可得到以下重要结论: 对偶问题的基本性质 三、最优性定理: ——若 和 分别是(1)和(2)的 可行解,且有 则 分别是(1)和(2)的最优解 。 3.1.3 影子价格 在单纯形法的每步迭代中,目标函数取值 , 和检验数 中都有乘子 ,那么Y的经济意义是什么? 当线性规划原问题求得最优解 时,其对偶问题也得到最优解 ,且代入各自的目标函数后有: 影子价格的定义 对偶变量 的意义——代表在资源最优利用条件下对单位第 种资源的估价,这种估价不是资源的市场价格,而是根据资源在生产中作出的贡献而作的估价,为区别起见,称为影子价格(shadow price)。 影子价格的经济意义 1.资源的市场价格是已知数,相对比较稳定,而它的影子价格则有赖于资源的利用情况,是未知数。由于企业生产任务、产品结构等情况发生变化,资源的影子价格也随之改变。 影子价格的经济意义 2.影子价格是一种边际价格。 在(3)式中, 。 说明 的值相当于在资源得到最优利用的生产条件下, 每增加一个单位时目标函数 的增量。 影子价格的经济意义 3.资源的影子价格实际上又是一种机会成本. 在纯市场经济条件下,当第2种资源的市场价格低于1/4时,可以买进这种资源;相反当市场价格高于影子价格时,就会卖出这种资源。随着资源的买进卖出,它的影子价格也将随之发生变化,一直到影子价格与市场价格保持同等水平时,才处于平衡状态。 4.在对偶问题的互补松弛性质中有 这表明生产过程中如果某种资源 未得到充分利用时,该种资源的影子价格为零;又当资源的影子价格不为零时,表明该种资源在生产中已耗费完毕。 5.从影子价格的含义上考察单纯形表的 检验数的经济意义。 影子价格的经济意义 6.一般说对线性规划问题的求解是确定资源的最优分配方案,而对于对偶问题的求解则是确定对资源的恰当估价,这种估价直接涉及到资源的最有效利用。 影子价格 3.1.4 对偶单纯形法 对偶单纯形法的基本思路 单纯形法的基本思路: 原问题基可行解 最优解判断 对偶单纯形法的计算步骤 线性规划问题 练习 用对偶单纯形法求解线性规划问题: 对偶单纯形法 灵敏度问题 背景: 线性规划问题中, 都是常数,但这些系数是估计值和预测值。 市场的变化 值变化; 工艺的变化 值变化; 资源的变化 值变化。 研究内容: 研究线性规划中, 的变化对最优解的影响。 3.2.2 灵敏度分析 研究内容: 研究线性规划中, 的变化对最优解的影响。 实例: 某家电厂家利用现有资源生产两种产品,有关数据如下表: 一、分析 的变化 的变化仅影响 的变化。 最终单纯形表 最终单纯形表 换基后单纯形表为 二、分析 的变化 三、增加一个变量 的分析 四、增加一个约束条件的分析 五、分析 的变化 灵敏
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