2014届高考数学(理)一轮复习知识点逐个击破专题讲座：函数地奇偶性与周期性(人教A版).doc

实用文案 标准文档 2014届数学一轮知识点讲座：函数的奇偶性与周期性 一、考纲目标 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.运用函数图像，理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数的奇偶性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性； 二、知识梳理 （一）函数的奇偶性 1.定义： 如果对于函数f (x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x)(f(-x)=f(x))，那么这个函数就是偶（奇）函数； 2.性质及一些结论： （1）定义域关于原点对称； （2）偶函数的图象关于轴对称，奇函数的图象关于原点对称； （3）为偶函数 （4）若奇函数的定义域包含，则因此，“f(x)为奇函数”是f(0)=0的非充分非必要条件； （5）判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响； （6）断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式： ， （7）设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇 （8）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反 （二）函数的周期性 1.定义： 若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期 2.简单理解： 一般所说的周期是指函数的最小正周期，周期函数的定义域一定是无限集，但是我们可能只研究定义域的某个子集 三、考点逐个突破 1．奇偶性辨析 例1.下面四个结论：①偶函数的图象一定与y轴相交；②奇函数的图象一定通过原点；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(x∈R)，其中正确命题的个数是 A．1 B.2 C.3 D.4 分析：偶函数的图象关于y轴对称，但不一定相交，因此③正确，①错误 奇函数的图象关于原点对称，但不一定经过原点，因此②不正确 若y=f(x)既是奇函数，又是偶函数，由定义可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④错误，选A 说明：既奇又偶函数的充要条件是定义域关于原点对称且函数值恒为零 例2.判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝|x|(x2＋1)； (2)f(x)＝eq \r(x)＋eq \f(1,x)； (3)f(x)＝eq \r(x－2)＋eq \r(2－x)； (4)f(x)＝eq \r(1－x2)＋eq \r(x2－1)； (5)f(x)＝(x－1)eq \r(\f(1＋x,1－x)). 解析 (1)此函数的定义域为R. ∵f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x2＋1)＝f(x)， ∴f(－x)＝f (x)，即f(x)是偶函数． (2)此函数的定义域为x0，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (3)此函数的定义域为{2}，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (4)此函数的定义域为{1，－ 1}，且f(x)＝0，可知图像既关于原点对称，又关于y轴对称，故此函数既是奇函数又是偶函数． (5)定义域：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－x≠0,\f(1＋x,1－x)≥0))?－1≤x1是关于原点不对称区间，故此函数为非奇非偶函数． 2.奇偶性的应用 例3.已知函数对一切，都有， （1）求证：是奇函数；（2）若，用表示 解：（1）显然的定义域是，它关于原点对称.在中， 令，得，令，得， ∴，∴，即， ∴是奇函数 （2）由，及是奇函数， 得 例4.（1）已知是上的奇函数，且当时，， 则的解析式为 （2）已知是偶函数，，当时，为增函数，若，且，则 （） 例5设为实数，函数， （1）讨论的奇偶性； （2）求 的最小值 解：（1）当时， ，此时为偶函数； 当时，，， ∴ 此时函数既不是奇函数也不是偶函数 （2）①当时，函数， 若，则函数在上单调递减，∴函数在上的最小值为； 若，函数在上的最小值为，且 ②当时，函数， 若，则函数在上的最小值为，且； 若，则函数在上单调递增，∴函数在上的最小值 综上，当时，函数的最小值是，当时，函数的最小值是， 当，函数的最小值是 3.函数周期性的应用 例6．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 011)． 解 (1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数． (2)