论文勾股定理证明.doc

哈尔滨师范大学 学 年 论 文 题 目 勾股定理的证明及其应用 学 生 *** 指导教师 *** 副教授 年 级 ***级 专 业 *** 系 别 *** 学 院 *** 哈尔滨师范大学 *** 论　文　提　要 在我国，把直角三角形的两直角的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理。长写作 千百年来勾股定理都是几何学中的明珠，所以它充满魅力，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家就有二十多种证明方法，这是任何定理无法比拟的，在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊 而非常著名。 这里我们来学习一下梁卷明老师奇特的证明方法，梁卷明老师的伟大发现给勾股定理的证明再次揭开一层神秘的面纱，使广大数学爱好者对这流芳千古的数学问题有了更多的认识，我们为梁老师感到骄傲、自豪，祝贺梁老师 勾股定理的证明及其应用 *** 摘 要：中学古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“数形统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。事实上，“数形统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数学关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的……十七世纪笛卡尔解析几何的发明，正是中国这种传统思想在几百年停顿后的重现与继续。”中国广西柳城县实验中学数学高级教师梁卷明老师于2009年3月28日下午发现勾股定理的一种美妙的证明方法。 关键词：勾股定理 数形变换 平面平移 数学思想方法是数学思想和数学方法的统称。所谓数学思想，是指现实世界空间形式和数量关系反映到人的意识中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论（概念、定理、公式、法则等）的本质认识。所谓数学方法是指人们从事数学活动时所使用的方法，即用数学语言描述与刻划事物的状态 （一）古希腊对勾股定理的发现与证明: 毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580－公元前500）是一个古希腊人的数学家。早年曾游历埃及、巴比伦（另一种说法是到过印度）等地，后来移居意大利半岛南部的克罗托内，并在那里组织了一个集政治、宗教、数学于一体的秘密团体—毕达哥拉斯学派。最著名的就是证明勾股定理了。传说当他得到了这个定理时，非常的高兴，杀了一百头牛作为牺牲献给天神。所以，希腊人和意大利人把勾股定理也叫做“百牛定理”。 关于这个定理，虽然号称毕达哥拉斯定理，但人们在遗留下来的古希腊手稿或译文中并没有找到毕达哥拉斯本人及其学派的有关证明，所以人们只能对他可能用的方法进行一些揣测。有据可查的最早证明见于欧几里得（公元前300年左右）所著的《几何原本》第一卷中的命题47：“直角三角形斜边上的正方形等于两直角边上的两个正方形之和”．其证明是用面积来进行的．如图 1，可证 （二）中国古代对勾股定理的发现: 我国最早关于勾股定理的证明，目前人们认为是后汉三国时期的吴国数学家赵爽（现在没有任何史料证明赵爽的生卒年，其时间大约为公元300年左右）对《周髀算经》的注释。如图2所示，图中的四个直角三角形的面积，加上最小的正方形的面积，等于介于大正方形与小正方形之间的那个正方形的面积。化简得： （三）梁卷明老师的伟大发现： 勾股定理：如图，直角三角形ACB中，∠BCA=90°,则有：BC2+AC2=AB2.  梁卷明证明：?? 如图,分别以AC、CB、BA为边长作正方形ACNM、正方形CBSQ、正方形BAPR，又过点P作PT垂直AC于点T，连结SR,由AB=RB,CB=SB,∠CBA=∠RBS=90°-∠RBC，可得：⊿ABC≌⊿RBS（SAS），从而∠BSR=∠BCA=90°,又∠BSQ=90°,所以∠BSR=∠BSQ，故点Q必在SR上！又由AB=PA, ∠ACB=∠PTA=90°,∠CBA=∠TAP=90°-∠CAB，可得：⊿ABC≌⊿PAT（AAS），所以：⊿PAT≌⊿ABC≌⊿RBS，进一步又易知：AM=AC=PT, MN=AC=TQ, NB=QR, AB=PR, 且∠MAB=∠TPR=90°-∠BAC(或∠APT),∠M=∠PTQ=90°,∠N=∠TQR=90°,∠NBA=360°-∠N-∠M-∠MAB=360°-∠TQR-∠PTQ-∠TPR=∠QRP,所以梯形ABNM≌梯形PRQT. 故有：S正方形ACNM+S正方形CBSQ=S⊿ABK+S梯形ABNM+S梯形KQSB=S⊿ABK+S梯形PRQT+S梯形KQSB= S⊿ABK +(S四边形PRKT+S⊿RQK