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导数题型分类(A)
题型一:导数的定义及计算、常见函数的导数及运算法则
(一)导数的定义:函数在处的瞬时变化率称为函数在处的导数,记作或,即
如果函数在开区间内的每点处都有导数,此时对于每一个,都对应着一个确定的导数,从而构成了一个新的函数。称这个函数为函数在开区间内的导函数,简称导数,也可记作,即==
导数与导函数都称为导数,这要加以区分:求一个函数的导数,就是求导函数;求函数在处的导数,就是导函数在处的函数值,即=。
例1.函数处的导数为A,求。
例2.。
(二)常见基本初等函数的导数公式和运算法则 :
; ;
法则1: 法则2:
法则3:
(理)复合函数的求导:若,则
如,_______________;_____________
公式的特例:①______; ②_______, ③_________.
题型二:利用导数几何意义及求切线方程
导数的几何意义:函数在处的导数是曲线上点()处的切线的斜率.因此,如果存在,则曲线在点()处的切线方程为______________________
例1.若函数满足,则的值
例2.设曲线在点处的切线与直线垂直,则 .
练习题
1.曲线在点处的切线方程是
2.若曲线在P点处的切线平行于直线,则P点的坐标为 (1,0)
3.若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为
4.求下列直线的方程:(注意解的个数)
(1)曲线在P(-1,1)处的切线; (2)曲线过点P(3,5)的切线;
解:(1)
所以切线方程为
(2)显然点P(3,5)不在曲线上,所以可设切点为,则①又函数的导数为,
所以过点的切线的斜率为,又切线过、P(3,5)点,所以有②,由①②联立方程组得,,即切点为(1,1)时,切线斜率为;当切点为(5,25)时,切线斜率为;所以所求的切线有两条,方程分别为
5.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为[0,eq \f(π,4)],则点P横坐标的取值范围为( )
A.[-1,-eq \f(1,2)] B.[-1,0] C.[0,1] D.[eq \f(1,2),1]
6.下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( )
A.y=sinx B. C. D.y=ln(1+x)—x
7. 设f(x),g(x)是R上的可导函数,分别为f(x),g(x)的导数,且,则当axb时,有( )
A.f(x)g(b)f(b)g(x) B.f(x)g(x)f(b)g(b)
C.f(x)g(a)f(a)g(x) D.f(x)g(x)f(b)g(a)
题型三:利用导数研究函数的单调性
1. 设函数在某个区间(a,b)内有导数,如果在这个区间内____,则在这个区间内单调递增;如果在这个区间内____,则是这个区间内单调递减.
2. 求函数的单调区间的方法: (1)求导数; (2)解方程;
(3)使不等式成立的区间就是递增区间,使成立的区间就是递减区间
3.若函数在区间上单调递增,则在恒成立.
例:1.函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数( )
(A)(,) (B)(,2) (C)(,) (D)(2,3)
2. 函数f(x)=xlnx(x0)的单调递增区间是_________________.
3.已知函数在R上单调递增,则的取值范围是________.
题型四:利用导数研究函数的极值、最值。
1. 在区间上的最大值是 2
2.已知函数处有极大值,则常数c= 6 ;
3.函数有极小值 -1 ,极大值 3
yxO12-14.已知函数f (x)的导函数的图
y
x
O
1
2
-1
那么函数f (x)的图象最有可能的是( )
y
y
x
O
1
2
-2
A
y
x
O
1
2
-2
B
y
x
O
1
2
-2
C
y
x
O
1
2
-2
D
5.已知函数有极大值和极小值,则实数a的取值范围是( )
A.-1<a<2 B.a<-3或a>6 C.-3<a<6 D.a<-1或a>2
作业和练习:
1.已知函数在区间(-
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