构造三角形中位线证题的几种类型.doc

构造三角形中位线证题的几种类型 　　三角形中位线具有两个方面的性质，一是位置上与对边平行，二是数量上是对边的一半，因此中位线常用来传递线段、角之间关系的作用，在三角形和四边形时常出现“中点”，在这种情况下，特别是有几个中点出现时，我们往往可以考虑构造三角形中位线，借助三角形中位线的性质，而使问题获得解决． 　　如何构造三角形中位线是利用三角形中位线性质证题的关键，笔者愿将自己平时教学中如何构造三角形中位线证题作初步整理如下． 　　一、当已知三角形一边中点时，取另一边中点构造三角形中位线． 　　例1 如图1，在△ABC中，AB=AC，CE是AB上的中线，延长AB至D，使BD=AC，求证CE=CD／2． 　　证明：取CD的中点F，连结BF，则BF是△ADC的中位线． 　　 　　∵AB=AC，CE是AB边上的中线， 　　∴BF=AC／2=AB／2=BE．而∠1=∠3=∠2，BC=BC，∴△BEC≌△BFC． 　　∴CE=CF，∴CE= CD／2． 　　例2 如图2，设四边形ABCD的对角线AC、BD的中点是E、F， 　　求证EF＜(AB+CD)／2． 　　提示：取BC中点M． 　　二、作出辅助三角形，把图形中的已知线段构造为三角形的中位线． 　　例3 如图3，在△ABC中，AH是∠BAC的平分线，BD=CE，P是DE的中点，Q是BC的中点，求证：PQ∥AH． 　　证明：连结DQ，过C作MN∥AB交DQ的延长线于F，连结EF， 　　在△BQD和△CFQ中， 　　∵∠3=∠4，BQ=CQ，∠5=∠6， 　　∴△BQD≌△CQF， ∴DQ=FQ，BD=CF， 　　∴PQ是△DEF的中位线，∴PQ∥EF， 　　∵BD=CE，∴CE=CF，∠7=∠8， 　　又∵∠ACM=∠7+∠8， 　　而∠ACM=∠BAC，∠2=∠BAC／2， 　　 　　∴EF∥AH，∴PQ∥AH． 　　例4 如图4，巳知⊙O的内接四边形ABCD，AC⊥BD，垂足为E，OM⊥AB于M，DF=FC，求证：OM=EF． 　　证明：连结AO并延长交⊙O于N，连结BN，CN． 　　∵AN为⊙O的直径，∴OA=ON， 　　而OM⊥AB，∴MA=MB， 　　∴OM为△ABN的中位线， 　　∴OM=BN／2， 　　∵AC⊥BD，DF=FC，∴EF=CD／2， 　　∵∠ACN=Rt∠，∴CN∥BD， 　　 　　三、当图形是多边形时，可以添加辅助线，把它转化为三角形，特别是当图形是四边形时，常连结一条对角线把它分成两个三角形，再构造三角形中位线． 　　例5 如图5，在△ABC中，AB＞AC，在AB上取一点D，连结BC、AD的中点E、F的直线交CA的延长线于G，若AF=AG，求证：BD=AC 　　证明：连结CD，取CD的中点M，连结ME、MF，则ME、MF分别为△BCD、△ACD的中位线． 　　 　　∴∠3=∠1， 　　∠4=∠2． 　　而AF=AG，∴∠1=∠2，∴∠3=∠4． 　　∴ME=MF，∴BD=AC． 　　例6 如图6，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别是BC、AD的中点，BA的延长线交MN的延长线于E，CD的延长线交MN的延长线于F，求证：∠1=∠2． 　　证明：连结对角线AC，取其中点P，连结PM、PN，则PM、 　　 　　∴∠1=∠3，∠2=∠4，而AB=CD， 　　∴PM=PN， 　　∴∠3=∠4，∴∠1=∠2．