浅谈数列在高中数学的解题思路与技巧.doc

第 PAGE 5页（共 NUMPAGES 11页） 浅谈数列在高中数学的解题思路与技巧 摘要：数列是高中数学的重要内容之一，它与数、式、函数、方程、不等式、三角函数、解析几何的关系十分密切，数列中的递推思想、函数思想、分类讨论思想以及数列求和、求通项公式的各种方法和技巧贯穿与整个高中数学之中。 关键词：数列 通项公式 数列求和 解题思路 解题技巧 众所周知，数列是高中数学的重要内容之一，也是中学数学联系实际的重要渠道之一。数列与数、式、函数、方程、不等式、三角函数、解析几何的关系十分密切，数列中的递推思想、函数思想、分类讨论思想以及数列求和、求通项公式的各种方法和技巧在中学数学中都有十分重要的地位。因此，笔者根据自己对数列的理解与认识，现对数列中的两个特征：数列的同项公式和数列的前项和公式的解题技巧进行归纳和总结，希望能够给读者带来帮助，对数列有更深刻的认识。 在我看来，数列无非是数列的定义、通项公式、数列的前项和（即数列求和）、等差数列、等比数列以及数列在现实生活中的应用，它们之间的关系可以由下图表示出来： 在这些内容中，数列的定义和有关概念是数列的基础，通项公式是数列的灵魂，等差（比）数列是数列的核心，数列求和是数列应用的前提，而数列的应用是数列学习的目的。 数列问题以其多变的形式和灵活的解法而倍受青睐，研究数列的通项公式是研究数列的基本问题之一，现就对数列的通项公式的几种常见的求法和技巧以及数列求和进行归纳和总结. 第一部分：几种常见的求数列通项公式的方法 方法一：观察法 例1：分别写出下面数列的一个通项公式，使它前4项分别是下列各数。 （1）1，2，1，2，…= ； （2）1，3，5，7，…= ； （3）3，33，333，3333，…= ； 【解析】 （1）或 （2） （3） 【小结】从各项共性的结合特征入手，通过观察、归纳、猜想总结出数列的通项公式，即为观察法. 方法二：由求法 题型一：由，求.有 例2:在数列中,表示其前项和,且,求通项. 【解析】 ①当时,; ②当时, () 又满足, 所以 () 题型二:由,求.可以得到,然后两式相减,即可求得. 例3:在数列中,表示其前项和,且,求通项. 【解析】由① 可得:② 由①②可得: () 整理可得: 即 () 所以数列是以为首项,为公比的等比数列, 故数列的通项公式为: 【小结】由求法时,其解题思路是首先由的表达式的到的表达式,然后将这两个式子相减,并且一定要验证是否适合,若适合,则合二为一;若不适合,则应将写成分段函数的形式. 方法三：构造法 若题目特征符合递推关系式 (A、B、C均为常数，)时，可用构造等比数列的方法求数列的通项公式。即由 得： （其中），从而得到数列是以B为公比的等比数列。 例4： 已知数列满足，求数列通项. 【解析】由可得:,即. 所以数列是以为首项,3为公比的等比数列,由等比数列的通项公式可得:. 所以数列的通项公式为: 【小结】用构造法求数列的通项公式的思路就是将所给数列递推关系式适当变形后,构造出一个新的等比数列.解题的关键有两点:一是所给数列的递推公式所必须具备的特征;二是快速准确的求出待定系数. 方法四：叠代法 题型一：若题目特征符合递推关系式(A为常数),时,可用叠加法求解数列的通项公式. 例5:在数列中,,求数列通项. 【解析】由可得:,则有: 将这个等式相加,得: ;又因为 所以所求数列的通项公式为 题型二：若题目特征符合递推关系式,(A、B为常数，且)时，可用叠乘法求数列的通项公式。 例6：在数列中，，求数列通项. 【解析】由得：，则有：，将这个等式相乘,得: （） 又因为 所以所求数列的通项公式为： （） 【小结】用叠代法求数列的通项公式，其解题思路是：将由递推公式所得的个式子相加或相乘，通过消项化简，从而得到求解数列通项公式的目的。 方法五：倒数法 若题目特征符合（A、B、C、D均为常数）时，求数列的通项公式时，常用倒数法求通项。 例7：（2008·陕西·文·20变形）已知数列的首项，，…． 求数列的通项公式； 【解析】（Ⅰ）因为， ， ，又，， 数列是以为首项，为公比的等比数列． 即 所以所求数列的通项公式为： 【小结】在由递推求数列的通向公式的过程中，若B=D，对其求倒数后，得到的数列是一个等差数列，；若,对其求倒数后，得到的却是一个新的递推公式（为常熟，其中）,这时可令，再利用构造法求得的通向公式，最后即可得到的通向公式。