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巧用面积法 妙解几何题 人教版八年级数学 上册 映山中学 严正霞 何谓面积法 在求解平面几何问题的时候，根据有关几何量与涉及的有关图形面积之间的内在联系，用面积或面积之间的关系表示有关线段间的关系，从而把要论证的线段之间的关系转化为面积的关系，并通过图形面积的等积变换对所论问题来进行求解的方法，称之为面积法。 抓住面积不但能把平面几何知识变得更容易学，而且使几何问题变得更简捷，更有趣味。 温故知新 填空： 1.若△ABC≌△DEF，且△ABC的面积为25，则△DEF的面积为 。 2.已知AD为△ABC的中线，则S △ABD与S △ACD的大小关系为 。 3.(1)平行四边形ABCD的一条对角线AC把它分成两个三角形△ABC 、△ADC，则S △ABC与S △ADC的大小关系为 。 (2)平行四边形ABCD的边AD上有一点E，连结EB、EC，则S △EBC与S平行四边形ABCD的关系为 。 4.已知直线a ∥b，点M、N为b上两点，点A、B为a上两点，连结AM、AN、BM、BN，则S △AMN 与S △BMN的大小关系为 。 25 S△ABD=S△ACD S△ABC=S△ADC S△ABD=1/2S平行四边形ABCD S△AMN=S△BMN 用面积法解几何问题常用到下列性质： 全等三角形的面积相等； 三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分； 平行四边形的对角线把其分成面积相等的两部分； 三角形的面积等于同底（或等底）等高的平行四边形的面积的一半； 同底（或等底）等高的三角形面积相等。 例题讲解 证线段相等 例1.已知：△ABC中，∠A为锐角，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，求证：BD=CE. A B C D E 分析：此题运用三角形全等可以解决，但考虑到有“高” ，不妨用面积法来试试，可用S△ABC=1/2AB·CE=1/2AC·BD来完成。 证明： ∵ △ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E ∴ S△ABC=1/2AB·CE=1/2AC·BD 又AB=AC ∴BD=CE 用面积法好简单哟！ 变式训练 1.已知：等腰△ABC中，AB=AC，D为底边BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.求证：DE=DF. A B C D F E 分析：此题用三角形全等可完成，但题中出现两条“垂线段”，可考虑面积法，连接AD，则S△ABD=S△ACD，由AB=AC，可得DE=DF. 2.平行四边形ABCD中，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，求证：BE=DF 变式训练 A B C D E F 分析：此题可以用平行四边形和全等三角形的知识解决，但出现两条“垂线段”，且都垂直于同一条线段，可考虑面积法，根据S平行四边形ABCD=2S △ABC=2S△ADC可得证。 证线段的和差关系 例2.（1）已知： △ABC中，AB=AC，P为底边BC上一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，BF⊥AC于F，求证：PD+PE=BF. A B C P F E D 分析：此题可构造矩形来证明，但较麻烦。考虑到题中有三条“垂线段”，可尝试面积法。连接AP，根据S△ABC=S△ABP+S△ACP，结合AB=AC，可得证。 证明：∵ BF⊥AC于F ∴S △ABC=1/2AC·BF ∵ PD⊥AB于D，PE⊥AC于E ∴S △ABP=1/2AB·PD， S△ACP=1/2AC·PE ∵ S △ABC= S △ABP+ S△ACP ∴1/2AC·BF=1/2AB·PD+1/2AC·PE ∵AB=AC ∴PD+PE=BF （2）若P为 △ABC的底边BC的延长线上一点，其他条件不变，则（1）中的结论仍然成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请写出正确的结论，并证明。 A B C P F D E 分析：虽然题目条件发生了变化，但思路不变，方法不变，还是用面积法。连接AP，根据S△ABC=S△ABP-S△ACP，结合AB=AC，可得到正确的结论:PD-PE=BF。 证明：∵ BF⊥AC于F ∴S △ABC=1/2AC·BF ∵ PD⊥AB于D，PE⊥AC于E ∴S △ABP=1/2AB·PD， S△ACP=1/2AC·PE ∵ S △ABC= S △ABP﹣S△ACP ∴1/2AC·BF=1/2AB·PD﹣1/2AC·PE ∵AB=AC ∴PD﹣PE=BF 3.（1）已知等边△ABC内有一点P，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥