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清华测度论的讲义1引论：背景与预备知识清华测度论的讲义1引论：背景与预备知识
§1
§1.1
1
1◦ P P λ(P ) P
(P, ξ)
2◦ B := {B }B λ(P ) d (P, ξ)
d d
3◦ f [a, b] ℄ (P, ξ)
n
σ (f, P, ξ) := f (ξ )∆x .
i i
i=1
4◦ Riemann
I f [a, b] ℄ Riemann ε 0
∆ 0 [a, b] ℄ (P, ξ) λ(P ) δ
n
|I − f (ξ )∆x | ε.
i i
i=1
℄
I := ab f (x)dx.
℄
I = lim Φ(p ),
B
Φ(p ) := σ (f, p)p = (P, ξ)
n
I = lim f (ξ )∆x .
i i
B
i=1
5◦ f a, b ℄ Riemann [a, b] ℄
R [a, b]
1
1
2 f [a, b] ℄
1 f ∈ R[a, b] ⇐⇒ ∀ε 0, ∃δ 0,P, λP
δ, ω (f, ∆x ) ε ω (f, ∆x ) f ∆x ℄
i i i
2 f ∈ R[a, b] ⇐⇒ m∗ (D (f )) = 0 D (f ) Zorich
p-346 D (f ) f [a, b] ℄m∗ (E) E
3 f ∈ R[a, b] ⇐⇒ ℄ I (f )= I (f ) Zorich
p-345
1
2 ℄
§1.2 Dirichlet
1 Dirichlet
D (x) = 1, x∈ [0, 1] \ Q
0, x∈ [0, 1] ∩ Q
℄ Dirichlet
Dirichlet
5 10
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