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清华测度论的讲义10拓扑与测度清华测度论的讲义10拓扑与测度
10
Rudin, ”Real and Complex Analysis”, p. 34-60
§1
§2 Hausdorff
1 X Hausdorff K X x ∈ K C
U W p ∈ U K ⊂ W
2 Kα H − Kα = ∅
α
Kα
3 U H − X K ⊂ U
V
K ⊂ V ⊂ V ⊂ U.
◭ X K
K K K G G
U = X V = G G X V = X
C := U C x ∈ C W K ⊂ W x ∈ W
x x x
C ∩ G ∩ W x G
C ∩ G ∩ W x = ∅,
x∈C
z ∈ x∈C (C ∩ W x ) z ∈ Wz 2 x1, , xn
C ∩ G ∩ W x1 ∩ ∩ W xn = ∅,
V := G ∩ Wx1 ∩ ∩ Wxn ,
V ⊂ G ∩ W x1 ∩ ∩ W xn V ∩ C = ∅ V ⊂ U V ◮
1 X f : X → R∗
f α {x | f (x) α}
f α {x | f (x) α}
1
1 1◦
2◦
3◦
Roydenp.51- 50, 51
2 f : X → C
supp f := {x ∈ X | f (x) = 0}.
3 C (X )
c
4 f ∈ C (X ) f (X )
c
4 X K ⊂ X V ⊂ X f ∈ C (X )
c
K ≺ f x ∈ X 0 ≤ f (x) ≤ 1 f |K ≡ 1
f ≺ V x ∈ X 0 ≤ f (x) ≤ 1 supp f ⊂ V
K ≺ f ≺ V
1Uryshon X H − V X K V
f ∈ C (X )
c
K ≺ f ≺ V.
◭ f
χK ≤ f ≤ χV .
f f χK
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