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清华测度论的讲义4勒贝格积分清华测度论的讲义4勒贝格积分
§1
§1.1
§1.2
§1.3
§2
F atou
§3
§4
§5
§1
§1.1
f [a, b] a = x0 x1 · · · xn = b
[a, b] f
n n
S (f ) = S := M Δx , s(f ) = s := m Δx ,
i i i i
i=1 i=1
Δxi := xi − xi−1 , Mi := sup f (x), mi := inf f (x),
xi−1 x≤xi xi−1 x≤xi
f
b b
R f (x)dx := inf S (f ), R f (x)dx := sup s(f ),
a
a
sup inf [a, b] f
R b f (x)dx f [a, b] f
a
1
a = x0 x1 · · · xn = b ψ : [a, b] → R
[x , x ) c
i−1 i i
b n
ψ (x)dx = c (x − x ).
i i i−1
a i=1
f
b b b b
R f (x)dx = inf ψ (x)dx, R f (x)dx = sup ϕ(x)dx,
a ψ ≥f a a ϕ≤f a
inf(sup) f f f
inf b ψ (x)dx = sup b ϕ(x)dx.
ψ ≥f a ϕ≤f a
§1.2
E ⊂ RE
⎧
χE (x) := ⎨1 x ∈ E ;
⎩
0 x ∈
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