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清华测度论的讲义Lebesgue密度定理
Contents
1 Lebesgue density theorem 1
2 The Lebesgue differentiation theorem 4
2.1 Some preparations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.1 Regular Borel measure and Radon measure . . . . . . . . 4
2.1.2 The Besicovitch measure-theoretical covering theorem . . 4
2.1.3 The Radon-Nikodym theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1.4 The Lebesgue decomposition . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.5 Notes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Differentiating Radon measures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3 Existence and measurability of D ν . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.4 Representing D ν . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.1 Representing D ν for ν ≪ µ . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4.2 Representing D ν for ν⊥µ . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5 The Lebesgue differentiation theorem . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5.1 Points of density . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.5.2 Lebesgue points of an integrable function . . . . . . . . . 13
3 Reference 13
1 Lebesgue density theorem
Definition 1 A measurable set E ⊂ is said to have density d at x if the
m(E ∩ [x − h, x + h])
lim
→ 2h
exists and is equal to d.
Let us denote the set of points of at which E has density 1 by Φ(E),Φ is
called the Lebes
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