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清华测度论的讲义5微分与积分清华测度论的讲义5微分与积分
5
V itali Dini
§1
V itali Deni
§2
§3
§4
§1 ℄
P (R) R
1Vitali A ⊂ R G ⊂ P (R) A Vitali
ε 0 x ∈ A I ∈ G |I | ε
1
1Vitali E ⊂ R m∗ (E) ∞G A V itali
ε 0 G
I1, , IN
N
m∗ (E \ I ) ε.
i
i=1
◭ G O
E ⊂ O G ⊂ P (O)
Æ G {I } I ∈ G
i 1
I1, , In
n
kn := sup{|I || I ∈ G, I Ii = ∅}.
i=1
kn ≤ m(O) ∞E
V itali In+1 ∈ G In+1 I1, , In
|In+1 | 1 kn
2
1
Æ G
In O
n≥1 |In | ≤ m(O) ∞ N ∈ N
∞
|In | ε .
5
N +1
N
R := E \ In ,
n=1
m∗ (R) ε
x ∈ R V itali I ∈ Gx ∈ I I ∩ ∪N Ii = ∅
i=1
limn→∞ |In | → 0 n N I ∩ In = ∅ kn
n ≥ N + 1|I | ≤ 2|In | |I | = 0 n0 I ∩ In = ∅
kn
|I | ≤ kn −1 ≤ 2|In |.
0 0
I In0 x In0
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