课件：弹性薄板的小挠度弯曲.ppt

(n=1,3,5…) 得出挠度为 四边简支矩形板，受静水压力作用， ，如图，试用单三角级数求解其挠度。 x y a O 例题4 解： 应用莱维法的单三角级数求解，将 代入书中§9－6式(d)右边的自由项，即 代入式(d)，方程的特解可取为 从而得到 和挠度 的表达式。在本题中，由于结构及荷载对称于 轴， 应为 的偶函数，由此， 。于是 的表达式为 在 的边界，有简支边条件 将挠度 代入边界条件，记 ，得 解出 从而得挠度解答 发生在薄板的中心点的挠度为 与板上作用有均布荷载 的解答相比，本题的中心点挠度为均布荷载下中心点挠度的 。又由 的条件，求出最大挠度为 例题5 设有内半径为r而外半径为R的圆环形薄板，其内边界简支，外边界为自由，并受到均布力矩荷载M的作用，如图，试求其挠度和内力。 M M O z r R R r 解： 本题属于圆板的轴对称问题，可引用§9－9 中轴对称圆板的一般解。由于板上无横向荷载，特解 ，于是挠度为 代入内力公式，得 THANK YOU SUCCESS * * 可编辑 当q为集中荷载F，作用于一点 时，可用 代替q，并且只在 处的微分面积上存在，其余区域q =0，于是 中 当q为均布荷载时， 代入式 (f)，便可求出 ，并得出w解答。 设矩形板的两对边 为简支边，其余两边为任意边界。 §9－6　矩形薄板的单三角级数解 两对边简支 其中 是待定的函数，m为正整数。式(a)已满足了 的简支边条件, 莱维采用单三角级数表示挠度， 将式(a)代入挠曲线微分方程，得 两对边简支 将 也展开为单三角级数， 两对边简支 代入式(b)，比较系数，得出求 的常微分方程， 其中 为式(d)的特解；其余四项为齐次方程的通解。将 代入式(a)，得w解，其中 的系数由其余两边界条件来确定。 式(d)的解为 书中列举了受均布荷载 时,四边简支板的解答。 矩形薄板应用重三角级数和单三角级数求解，是非常重要的解法。下面我们进一步说明几点。 从求解薄板弯曲问题来看，两者比较 如下： 适用性 四边简支 两对边简支，另两边可任意 求解 较困难，须求解系数 收敛性 慢 快 应用 局限于四边简支 可推广应用到其他各种边界 纳维解法 莱维解法 简便 THANK YOU SUCCESS * * 可编辑 2.应用叠加方法，可将莱维提出的单三 角级数解，用于解决各种矩形薄板的边 界条件问题。 3.纳维解法和莱维解法，不仅在薄板的静 力（弯曲）问题中得到了广泛的应用， 而且可以推广应用于薄板的动力、稳定 问题,以及能量法中。 1.试考虑四边固定的矩形板，受任意荷载 ，如何应用莱维法求解？ 2.试考虑一边固定三边自由的矩形板，受任意荷载 ，如何应用莱维法求解？ 思考题 （3）两对边简支，另两对边固定； （4）两邻边简支，另两邻边固定； （5）一边简支，三边固定； （6）四边固定。 §9－8　圆形薄板的弯曲 圆板弯曲问题的方程和公式，都可以从直角坐标系的方程和公式导出。 1. 挠曲微分方程仍为 其中 圆板方程 将对x，y的导数变换为对 的导数，并代入 ，得 2. 内力公式--类似地可利用公式， 例如， 内力公式 同样，得出 类似地，横截面上的总剪力为 3. 边界条件可以表示为 ⑵ 设 为简支边，则 ⑴ 设 为固定边，则 边界条件 前一条件使w对 的导数在 边界上 均为0，故简支边条件为 ⑶ 设 为自由边，则 若圆板的荷载q和边界条件均为轴对称，