判断抽象函数单调性的四种策略.doc

判断抽象函数单调性的四种策略 江苏省姜堰中学 张圣官（225500） 抽象函数问题是指没有明确给出具体函数表达式的问题。这类问题对发展学生思维能力，进行数学思想方法的渗透有较好的作用。本文准备就四种常见的抽象函数单调性的判断策略做一小结，供大家解题时参考。 1 凑差策略 紧扣单调函数的定义，利用赋值，设法从题设中“凑出”“f(x1)-f(x2)”，然后判断符号。 例1 已知函数f(x)对任意实数x、y均有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x0时，f(x)0，试判断函数f(x)的单调性。 解：由f(x+y)=f(x)+f(y)得，f(x+y)-f(x)=f(y) 令x+y=x2，x=x1，且x1x2， 则有f(x2)-f(x1)=f(y) ∵y=x2-x10，∴f(y)=f(x2-x1)0， 即f(x1)f(x2)，因此f(x)为增函数。 例2 设函数f(x)的定义域为（0，+∞），对任意正实数x、y均有f(xy)=f(x)+f(y)，且当x1时f(x)0，判断函数f(x)的单调性并说明理由。 解：由f(xy)=f(x)+f(y)得，f(xy)-f(x)=f(y) 令x+y=x1，x=x2，且x1x20， 则有f(x1)-f(x2)=f(y)， ∵，∴ 即f(x1)f(x2)，因此f(x)为增函数。 2 添项策略 瞄准题设中的结构特点，采用加减添项或乘除添项，以达到确定“f(x1)-f(x2)”的符号的目的。 例3（题同例1） 解：设x1x2，则x2-x10， ∵当x0时，f(x)0，∴f(x2-x1)0 ∴f(x2)-f(x1)=f[(x2-x1)+x1]-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-f(x1)=f(x2-x1)0 即f(x1)f(x2)，因此f(x)为增函数。 例4（题同例2） 解：设0x1x2+∞，则 ∵当x1时f(x)0，∴ ∴ 即f(x2)f(x1)，因此f(x)为增函数。 3 增量策略 由单调性的定义出发，假设x1x2，设x2=x1+δ（δ0）,从而与题设联系起来。 例5（题同例1） 解：对任意的x1、x2，设x1x2，且x2=x1+δ（δ0）， 由题设f(x+y)=f(x)+f(y)得 f(x2)-f(x1)=f（x1+δ）-f(x1)=f(x1)+f(δ)-f(x1)=f(δ) ∵δ0,∴f(δ)0， 即f(x2)f(x1)，因此f(x)为增函数。 例6 设函数f(x)的定义域为R，当x0时，f(x)1，且对任意的x、y，均有f(x+y)=f(x)f(y)成立。试判断函数f(x)的单调性并说明理由。 解：对任意的x1、x2，设x1x2，且x2=x1+δ（δ0）， 则f(x2)-f(x1)=f（x1+δ）-f(x1)=f(x1)f(δ)-f(x1)=[f(δ)-1]f(x1) ∵当x0时，f(x)1，∴f(δ)-10 下面判断f(x1)的符号： ∵ ∴ 若存在使f(x0)=0,则对任意的x，f(x)=f[(x-x0)+x0]=f(x-x0)f(x0)=0，这与题设条件矛盾。因此，即 这样，f(x2)-f(x1) 0，所以f(x)为增函数。 4 放缩策略 结合添项策略，利用放缩法，判断f(x1)与f(x2)的大小关系，从而得f(x)的单调性。 例7（题同例6） 解：设x1x2，则x2-x10， ∵当x0时，f(x)1，∴f(x2-x1)0， ∴f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)f(x1)f(x1)（由上题知f(x1)0） 即f(x)为增函数。 例8 已知函数f(x)的定义域为（0，+∞），对任意正实数x、y均有f(xy)=f(x)f(y)，且当x1时0f(x)1，判断函数f(x)的单调性并说明理由。 解：设0x1x2，则 ∵当x1时0f(x)1，∴ 又由f(xy)=f(x)f(y)中令x1，y=1得f(1)=1 当0x1时，，由易知此时f(x)1， 这样，f(x)0恒成立。 ∴ 即f(x)在（0，+∞）上单调递减函数。