高中抛物线标准方程和几何性质.ppt

5.4 抛物线 第一节 抛物线的 标准方程和几何性质 平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 定点F叫做抛物线的焦点。 定直线l 叫做抛物线的准线。 ︳ ︳ 一、定义 · · F M l N d 的轨迹是抛物线。 则点 e= M d MF , 1 = 新课讲解 二、标准方程 · · F M l N 如何建立直角 坐标系？ x y o · · F M l N K 设︱KF︱= p 则F（ ，0），l ：x = - p 2 p 2 设点M的坐标为（x ,y）， 由定义可 知， 化简得 y2 = 2px（p＞0） 方程 y2 = 2px（p＞0） 叫做抛物线的标准方程。 其中p为正常数，它的几何 意义是焦准距 x y o · · F M l N K (m,n) · · F M l N K 若顶点在O1(m,n)，则方程为(y-n)2= 2p(x-m) 图 形 方 程 焦 点 准 线 l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2 = 2px （p0） y2 = -2px （p0） x2 = 2py （p0） x2 = -2py （p0） 四种抛物线标准方程的异同: 共同点: (1)原点在抛物线上； (2)对称轴为X轴、Y轴； (3)准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点,与原点的距离等于一次项前面的系数的绝对值的1/4；即焦点与准线的距离等于一次项系数的绝对值的一半。 不同点: (1)对称轴为x轴时，方程右端为±2px，左端为y2 ；对称轴为y轴时，方程右端为±2py，左端为x2 。 (2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同时，焦点在x轴(或y轴)的正半轴上，方程的右端取+号； 开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同时，焦点在x轴(或y轴)的负半轴上，方程的右端取-号。 O(0,0) A B · F(p/2,0) L:x= -p/2 K p y2=2px O1(m,n) A B · F(h+p/2,k) L:x=h-p/2 K p (y-n)2=2p(x-m) 顶点在原点 顶点在点(m,n) 抛物线草图画法： O(0,0) A B · F(0,p/2) L:y= -p/2 K p x2=2py 顶点在原点 顶点在点(m,n) O1(m,n) A B · F(h,k-p/2) K p (x-m)2= -2p(y-n) L:y= k+p/2 例1、点M与点F（4，0）的距离比它到直线 l：x＋5＝0的距离小1，求点M的轨迹方程． 如图可知原条件等价于M点到F（4，0）和到x＝－4距离相等，由抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点，x＝－4为准线的抛物线．所求方程是y2＝16x． 分析： 例题讲解 例2、已知抛物线方程为x=ay2（a≠0)，讨论抛物线的开口方向、焦点坐标和准线方程？ 解：抛物线的方程化为：y2= x 1 a 即2p= 1 a 4a 1 ∴焦点坐标是（ ，0），准线方程是： x= 4a 1 ②当a0时, ,抛物线的开口向左 p 2 = 1 4a ∴焦点坐标是（ ，0），准线方程是： x= 4a 1 1 4a ①当a0时, ,抛物线的开口向右 p 2 = 1 4a 例3、求抛物线的焦点坐标和准线方程： (1) y2 = 6x (2) y = －6x2 (4)已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程。 (3) y = x2-4x+3 (5)y2-mx-2y+4m+1=0的准线为x=3，求m。 例4、抛物线 的焦点为F (1)若斜率为1的直线经过点F，与抛物线交于A、B 两点，求线段AB的长。 (2)抛物线上有三点A,B,C，且FA+FB+FC =0，求 |FA|+|FB|+|FC|。 1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： （1）y2 = -20x （2）y=2x2 （3）2y2 +5x =0 （4）x2 +8y =0 焦点坐标 准线方程 （1） （2） （3） （4） （-5，0） x= 5 （0，—） 1 8 y= - — 1 8 8 x= — 5 （- —，0） 5 8 （0，-2） y=2 注意：求抛物线的焦点一定要先把抛物线化为标准形式 跟踪练习 2、根据下列条件，写出抛物线的标准方程： （1）焦点是F（3，0） （2）准线方程 是x = （3）焦点到准线的距离是2