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2.12 函数的综合问题
●知识梳理
函数的综合应用主要体现在以下几方面:
1.函数内容本身的相互综合,如函数概念、性质、图象等方面知识的综合.
2.函数与其他数学知识点的综合,如方程、不等式、数列、解析几何等方面的内容与函数的综合.这是高考主要考查的内容.
3.函数与实际应用问题的综合.
●点击双基
1.已知函数f(x)=lg(2x-b)(b为常数),若x∈[1,+∞)时,f(x)≥0恒成立,则
A.b≤1 B.b<1 C.b≥1 D.b=1
解析:当x∈[1,+∞)时,f(x)≥0,从而2x-b≥1,即b≤2x-1.而x∈[1,+∞)时,2x-1单调增加,
∴b≤2-1=1.
答案:A
2.(2003年郑州市质检题)若f(x)是R上的减函数,且f(x)的图象经过点A(0,3)和B(3,-1),则不等式|f(x+1)-1|<2的解集是___________________.
解析:由|f(x+1)-1|<2得-2<f(x+1)-1<2,即-1<f(x+1)<3.
又f(x)是R上的减函数,且f(x)的图象过点A(0,3),B(3,-1),
∴f(3)<f(x+1)<f(0).
∴0<x+1<3,-1<x<2.
答案:(-1,2)
●典例剖析
【例1】 取第一象限内的点P1(x1,y1),P2(x2,y2),使1,x1,x2,2依次成等差数列,1,y1,y2,2依次成等比数列,则点P1、P2与射线l:y=x(x>0)的关系为
A.点P1、P2都在l的上方 B.点P1、P2都在l上
C.点P1在l的下方,P2在l的上方 D.点P1、P2都在l的下方
剖析:x1=+1=,x2=1+=,y1=1×=,y2=,∵y1<x1,y2<x2,
∴P1、P2都在l的下方.
答案:D
【例2】 已知f(x)是R上的偶函数,且f(2)=0,g(x)是R上的奇函数,且对于x∈R,都有g(x)=f(x-1),求f(2002)的值.
解:由g(x)=f(x-1),x∈R,得f(x)=g(x+1).又f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
故有f(x)=f(-x)=g(-x+1)=-g(x-1)=-f(x-2)=-f(2-x)=-g(3-x)=
g(x-3)=f(x-4),也即f(x+4)=f(x),x∈R.
∴f(x)为周期函数,其周期T=4.
∴f(2002)=f(4×500+2)=f(2)=0.
评述:应灵活掌握和运用函数的奇偶性、周期性等性质.
【例3】 函数f(x)=(m>0),x1、x2∈R,当x1+x2=1时,f(x1)+f(x2)=.
(1)求m的值;
(2)数列{an},已知an=f(0)+f()+f()+…+f()+f(1),求an.
解:(1)由f(x1)+f(x2)=,得+=,
∴4+4+2m=[4+m(4+4)+m2].
∵x1+x2=1,∴(2-m)(4+4)=(m-2)2.
∴4+4=2-m或2-m=0.
∵4+4≥2=2=4,
而m>0时2-m<2,∴4+4≠2-m.
∴m=2.
(2)∵an=f(0)+f()+f()+…+f()+f(1),∴an=f(1)+f()+ f()+…+f()+f(0).
∴2an=[f(0)+f(1)]+[f()+f()]+…+[f(1)+f(0)]=++…+=.
∴an=.
深化拓展
用函数的思想处理方程、不等式、数列等问题是一重要的思想方法.
【例4】 函数f(x)的定义域为R,且对任意x、y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-2.
(1)证明f(x)是奇函数;
(2)证明f(x)在R上是减函数;
(3)求f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值.
(1)证明:由f(x+y)=f(x)+f(y),得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x),∴f(x)+ f(-x)=f(0).又f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.从而有f(x)+f(-x)=0.
∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.
(2)证明:任取x1、x2∈R,且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1)-f[x1+(x2-x1)]=f(x1)-[f(x1)+f(x2-x1)]=-f(x2-x1).由x1<x2,∴x2-x1>0.∴f(x2-x1)<0.
∴-f(x2-x1)>0,即f(x1)>f(x2),从而f(x)在R上是减函数.
(3)解:由于f(x)在R上是减函数,故f(x)在[-3,3]上的最大值是f(-3),最小值是f(3).由f(1)=-2,得f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+
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