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双曲线焦点三角形面积公式的应用
定理 F1 O F2 xPy在双曲线(>0,>0)中,焦点分别为、,点P是双曲线上任意一点,,则.
F1 O F2 x
P
y
证明:记,由双曲线的第一定义得
在△中,由余弦定理得:
配方得:
即
由任意三角形的面积公式得:
.
同理可证,在双曲线(>0,>0)中,公式仍然成立.
典题妙解
例1 设和为双曲线的两个焦点,P在双曲线上,且满足,则△的面积是( )
A. 1 B. C. 2 D.
解:选A.
例2 (03天津)已知、为双曲线的两个焦点,P在双曲线上,若△的面积是1,则的值是___________.
解: ,即
,从而
例3 已知、为双曲线的两个焦点,点P在双曲线上,且,△的面积是,离心率为2,求双曲线的标准方程.
解:由得:
又
从而
所求的双曲线的标准方程为,或.
金指点睛
1. 已知双曲线的两个焦点为、,点P在双曲线上,且△的面积为,则
的值为( )
A. 2 B. C. D.
2.(05北京6)已知双曲线的两个焦点为,P是此双曲线上的一点,且,则该双曲线的方程是( )
A. B. C. D.
3.(05全国Ⅲ)已知双曲线的焦点为、,点M在双曲线上,且,则点M到轴的距离为( )
A. B. C. D.
4. 双曲线两焦点为F1,F2,点P在双曲线上,直线PF1,PF2倾斜角之差为则
△F1PF2面积为( )
A.16 B.32 C
5. 双曲线,、为双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上,且,求的大小.
6. 已知双曲线(>0,>0)的焦点为、,P为双曲线上一点,且,,求双曲线的离心率.
参考答案
1. 解:,.
又,.
=.
故答案选A.
2. 解:.
又,,而,.
故答案选C.
3. 解:,. .
点M到轴的距离为h,则,.
故答案选C.
4. 解:设,则. .
故答案选A.
5. 解:由得. 设().
.
又.
,即.
整理得:,,,.
故的大小为.
6. 解:设,.
.
又,
. 得.
离心率.
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