不定积分换元法例题.doc

PAGE word完美格式 精心整理 学习帮手 【不定积分的第一类换元法】 已知 求 【凑微分】 【做变换，令，再积分】 【变量还原，】 【求不定积分的第一换元法的具体步骤如下：】 （1）变换被积函数的积分形式： （2）凑微分： （3）作变量代换得： （4）利用基本积分公式求出原函数： （5）将代入上面的结果，回到原来的积分变量得： 【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。 __________________________________________________________________________________________ 【第一换元法例题】 1、 【注】 2、 【注】 3（1） 【注】 3（2） 【注】 4（1） 【注】 4（2） 【注】 4（3） 5（1） 5（2） 6（1） 6（2） 7（1） 7（2） 8（1） 8（2），（） 9（1） 9（2） 10（1） 10（2） 11（1） 11（2） 12、 13、 14、 15、 16、 17、 18、 19、 20、 21、 22、 23、 24、 25、计算， 【分析】因为： 所以： 【解答】 【不定积分的第二类换元法】 已知 求 【做变换，令，再求微分】 【求积分】 【变量还原，】 __________________________________________________________________________________________ 【第二换元法例题】 1、 2（1） 2（2） 3、 4、 5、 6、 【注】被积函数中出现了两个根式时，可令，其中为的最小公倍数。 7（1） 7（2） 【注】被积函数中含有简单根式或时，可令这个简单根式为 ，即可消去根式。 8(1) 8（2） 【注】当被积函数中分母的次数较高时，可以试一试倒变换。 9、 【注】对三角函数有理式的被积函数，可以用万能公式变换，化为有理分式函数的积分问题。 10（1） 10（2） 因为： 所以： 即： 10（3） 因为： 所以： 即： 【注】当被积函数中出现因子时，可以用三角变换，化为三角函数的积分问题。 _______________________________________________________________________________________________ 【附加】【应用题】 已知生产单位的某种产品，边际单位成本是，产量为 1 个单位时，成本为102，又知边际收益为，且， 求：（1）利润函数； （2）利润最大时的产量； （3）利润最大时的平均价格。 【解答】 （1）因为： 所以：，由得：， ， 又已知：，， 于是： （2）令 得： 因为：，所以当时利润最大， （3）利润最大时的平均价格为：