专升本资料3(一元函数积分学).doc

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word完美格式 精心整理 学习帮手 四川省普通高等学校“专升本”选拔 《高等数学》考试大纲(理工类) 总体要求 考生应理解或了解《高等数学》中函数、极限、连续、一元函数微分学、一元函数积分分学、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数、常微分方程以及《线性代数》的行列式、矩阵、向量、方程组的基本概念与基本理论;掌握上述各部分的基本方法。应注意各部分知识的结构及知识的内在联系;应具备一定的抽象思维能力、逻辑推理能力、运算能力、空间想象能力;能运用基本概念、基本理论和基本方法正确地推理证明,准确、简捷地计算;能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问题。 本大纲对内容的要求由低到高,对概念和理论分为“了解”和“理解”两个层次;对方法和运算分为“会”、“掌握”、“熟练掌握”三人层次。 考试用时:120分钟 考试范围及要求 一 函数、极限和连续 二 一元函数微分学 三 一元函数积分学 (一)不定积分 (成都理工大学13:理文科—1个选3分;) (成都理工大学14:理文科—1个选3分;) (攀枝花学院13:理科——选择3分、解答两个12分;文科——选择3分、解答一个5分;) 1. 理解原函数和不定积分的概念,掌握不定积分的性质,了解原函数的存在定理。 (1) 是的一个原函数 是的一个原函数 (2) 不定积分的基本性质 ① , ② , ③ , ④ . 例1 (攀枝花学院:理科——选择3分)设是的一个原函数,则 . A、 B、 C、 D、 例2 (攀枝花学院:文科——选择3分)1、若为连续函数,则等于. (A) (B) (C) (D) 2. 熟练掌握基本的不定积分公式。 不定积分的基本公式是最基础的,是做一切积分题的前提,必须要能默写(13个+2个) 3. 熟练掌握不定积分第一类换元法,第二类换元积分法(限于三角代换与简单的根式代换) (1)第一类换元法: (① 凑微分) (② 换元, 可以省略,写到草稿纸上) (③ 用积分公式,可以省略,写到草稿纸上) (④ 回代还原)。 (2)第二类换元法: 主要解决:带有根式的函数的积分:, 令,则 基本的三角代换: ①含有时,令,从而,. ②含有时,令,从而,. ③含有时,令,从而,. 4. 掌握不定积分的分部积分法。 主要解决:对数、反三角、五类基本初等函数中的两类相乘的积分。 5. 会求简单的有理函数及简单的无理函数的不定积分。 先将被积函数化为:整式+真分式。 再化部分分式:将分式化为多个分式相加减。每一个分式的分母仅为一次式或不可分解的二次式。 例1(成都理工大学13:理科、文科——选择题1个3分)已知,则【 】 (A) (B) (C) (D) 例2(成都理工大学14:理科、文科——选择题1个3分).若,则=【 】 (A) (B) (C) (D) 例3 (1)(攀枝花学院13:理科——解答题2个12分)求下列积分 ① ; ②;(攀枝花学院13:理科——解答题2个12分) ③ (攀枝花学院13:文科——解答题1个5分) (1)(攀枝花学院14:理科——解答题1个6分)计算 例4 求下列积分 ① ; ② ; ③; ④ ; ⑤ (二)定积分 1. 理解定积分的概念与几何意义,了解函数可积的条件。 (1) 定义 (2)结论: ① 定积分与积分变量的无关: ② ,, , (4)函数可积的两个充分条件 ① 在上连续在上可积。 ② 在上有界,且只有有限个间断点在上可积。 (5) 定积分的几何意义 ① 在上 ; ② 在上 ; ③ 在上有正有负 ④ 由曲线、直线、及轴围成的图形的面积为: 2. 掌握定积分的基本性质。 性质1 (运算性质) ① ; ② 。 性质2 (可加性) . 性质3 (可比性)在上, . 性质4(估值定理),.M与m分别是函数在上的最大值及最小值。 性质5 (定积分中值定理) 如果函数在闭区间上连续,则在积分区间上至少存在一点,使得 (). 3. 了解变上限定积分是变上限的函数,掌握对变上限定积分求导的方法。 ① ; ② ③ 4. 熟练掌握牛顿—莱布尼兹公式。 函数是连续函数在区间上的一个原函数 分段函数、带绝对值符号的函数的积分: 可加性 5. 掌握定积分的换元法和分部积分法,并会证明一些简单的积分恒等式。 (1)定积分的换元法 令,则 当时,;当时, (2)定积分的分部积分法 主要解决:对数、反三角、五类基本初等函数中

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