不定积分例题和答案.doc

第4章 不定积分 内容概要 名称 主要内容 不 定 积 分 不 定 积 分 的 概 念 设， ，若存在函数，使得对任意均有 或，则称为的一个原函数。 的全部原函数称为在区间上的不定积分，记为 注：（1）若连续，则必可积；（2）若均为的原函数，则。故不定积分的表达式不唯一。 性 质 性质1：或； 性质2：或； 性质3：，为非零常数。 计 算 方 法 第一换元 积分法 （凑微分法） 设的 原函数为，可导，则有换元公式： 第二类 换元积 分法 设单调、可导且导数不为零，有原函数，则 分部积分法 有理函数积分 若有理函数为假分式，则先将其变为多项式和真分式的和；对真分式的处理按情况确定。 本章 的地 位与 作用 在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题，实质上是求被积函数的原函数问题；后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分，最终的解决都归结为对定积分的求解；而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲，不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用，积分的问题会不会求解及求解的快慢程度，几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入，同学们会慢慢体会到！ 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数 ，由积分表中的公式（2）可解。 解： ★(2) 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： ★(3) 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： ★(4) 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： ★★(5) 思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： ★★(6) 思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7) 思路:分项积分。 解： ★(8) 思路:分项积分。 解： ★★(9) 思路:？看到，直接积分。 解： ★★(10) 思路:裂项分项积分。 解： ★(11) 解： ★★(12) 思路:初中数学中有同底数幂的乘法： 指数不变，底数相乘。显然。 解： ★★(13) 思路:应用三角恒等式“”。 解： ★★(14) 思路:被积函数 ，积分没困难。 解： ★★(15) 思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解： ★★(16) 思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解： ★(17) 思路:不难，关键知道“”。 解： ★(18) 思路:同上题方法，应用“”，分项积分。 解： ★★(19) 思路:注意到被积函数 ，应用公式(5)即可。 解： ★★(20) 思路:注意到被积函数 ，则积分易得。 解： ★2、设，求。 知识点：考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：直接利用不定积分的性质1：即可。 解：等式两边对求导数得： ★3、设的导函数为，求的原函数全体。 知识点：仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系。 思路分析：连续两次求不定积分即可。 解：由题意可知， 所以的原函数全体为：。 ★4、证明函数和都是的原函数 知识点：考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：只需验证即可。 解：，而 ★5、一曲线通过点，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。 知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为，由题意可知：，； 又点在曲线上，适合方程，有， 所以曲线的方程为 ★★6、一物体由静止开始运动，经秒后的速度是，问： 在秒后物体离开出发点的距离是多少？ 物体走完米需要多少时间？ 知识点：属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得物体的位移方程的一般式，然后将条件带入方程即可。 解：设物体的位移方程为：， 则由速度和位移的关系可得：， 又因为物体是由静止开始运动的，。 (1) 秒后物体离开出发点的距离为:米； (2)令秒。 习题4-2 ★1、填空是下列等式成立。 知识点：练习简单的凑微分。 思路分析：根据微分运算凑齐系数即可。 解： 2、求下列不定积分。 知识点：（凑微分）第一