不定积分例题和答案.doc

  1. 1、本文档共66页,可阅读全部内容。
  2. 2、有哪些信誉好的足球投注网站(book118)网站文档一经付费(服务费),不意味着购买了该文档的版权,仅供个人/单位学习、研究之用,不得用于商业用途,未经授权,严禁复制、发行、汇编、翻译或者网络传播等,侵权必究。
  3. 3、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。如您付费,意味着您自己接受本站规则且自行承担风险,本站不退款、不进行额外附加服务;查看《如何避免下载的几个坑》。如果您已付费下载过本站文档,您可以点击 这里二次下载
  4. 4、如文档侵犯商业秘密、侵犯著作权、侵犯人身权等,请点击“版权申诉”(推荐),也可以打举报电话:400-050-0827(电话支持时间:9:00-18:30)。
查看更多
第4章 不定积分 内容概要 名称 主要内容 不 定 积 分 不 定 积 分 的 概 念 设, ,若存在函数,使得对任意均有 或,则称为的一个原函数。 的全部原函数称为在区间上的不定积分,记为 注:(1)若连续,则必可积;(2)若均为的原函数,则。故不定积分的表达式不唯一。 性 质 性质1:或; 性质2:或; 性质3:,为非零常数。 计 算 方 法 第一换元 积分法 (凑微分法) 设的 原函数为,可导,则有换元公式: 第二类 换元积 分法 设单调、可导且导数不为零,有原函数,则 分部积分法 有理函数积分 若有理函数为假分式,则先将其变为多项式和真分式的和;对真分式的处理按情况确定。 本章 的地 位与 作用 在下一章定积分中由微积分基本公式可知---求定积分的问题,实质上是求被积函数的原函数问题;后继课程无论是二重积分、三重积分、曲线积分还是曲面积分,最终的解决都归结为对定积分的求解;而求解微分方程更是直接归结为求不定积分。从这种意义上讲,不定积分在整个积分学理论中起到了根基的作用,积分的问题会不会求解及求解的快慢程度,几乎完全取决于对这一章掌握的好坏。这一点随着学习的深入,同学们会慢慢体会到! 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分: 知识点:直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析:利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分! ★(1) 思路: 被积函数 ,由积分表中的公式(2)可解。 解: ★(2) 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: ★(3) 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: ★(4) 思路:根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。 解: ★★(5) 思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: ★★(6) 思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。 ★(7) 思路:分项积分。 解: ★(8) 思路:分项积分。 解: ★★(9) 思路:?看到,直接积分。 解: ★★(10) 思路:裂项分项积分。 解: ★(11) 解: ★★(12) 思路:初中数学中有同底数幂的乘法: 指数不变,底数相乘。显然。 解: ★★(13) 思路:应用三角恒等式“”。 解: ★★(14) 思路:被积函数 ,积分没困难。 解: ★★(15) 思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: ★★(16) 思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: ★(17) 思路:不难,关键知道“”。 解: ★(18) 思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ★★(19) 思路:注意到被积函数 ,应用公式(5)即可。 解: ★★(20) 思路:注意到被积函数 ,则积分易得。 解: ★2、设,求。 知识点:考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。 思路分析:直接利用不定积分的性质1:即可。 解:等式两边对求导数得: ★3、设的导函数为,求的原函数全体。 知识点:仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系。 思路分析:连续两次求不定积分即可。 解:由题意可知, 所以的原函数全体为:。 ★4、证明函数和都是的原函数 知识点:考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:只需验证即可。 解:,而 ★5、一曲线通过点,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。 知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 ★★6、一物体由静止开始运动,经秒后的速度是,问: 在秒后物体离开出发点的距离是多少? 物体走完米需要多少时间? 知识点:属于最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得物体的位移方程的一般式,然后将条件带入方程即可。 解:设物体的位移方程为:, 则由速度和位移的关系可得:, 又因为物体是由静止开始运动的,。 (1) 秒后物体离开出发点的距离为:米; (2)令秒。 习题4-2 ★1、填空是下列等式成立。 知识点:练习简单的凑微分。 思路分析:根据微分运算凑齐系数即可。 解: 2、求下列不定积分。 知识点:(凑微分)第一

文档评论(0)

文档分享 + 关注
实名认证
内容提供者

该用户很懒,什么也没介绍

1亿VIP精品文档

相关文档